2、假设某消费者的效用函数为U?XY，X和Y表示两种商品，当效用为20单位、X商品的消费量为5时，Y商品的消费量是多少？这一商品消费组合对应的边际替代率是多少？如果这时的组合是达到消费者均衡的组合，那么X和Y两种商品的价格之比应为多少？
① ∵U?XY 当错误!未找到引用源。=20时，由X=5得：错误!未找到引用源。=80。 ② 边际替代率
MU
MUXY11?1错误!未找到引用源。MUX=X2Y2
2
③ 达到均衡时，
故：错误!未找到引用源。.
3、已知效用函数为U?X?Y1??，求商品的边际替代率MRSXY和MRSYX，并求当X和Y的数量分别为4和12时的边际替代率。
解：
MUX?X??1Y1???Y3?MRSXY????MUY(1??)X?Y??(1??)X(1??)MRSYX?MUY(1??)XY?MUX?X??1Y1??????(1??)X(1??)??Y3?
4、假设某消费者的效用函数为U?U(X,Y)?X2Y2，消费者的预算线是
I?PXX?PYY，试求该约束条件下的最优化问题，并推导出消费者均衡的一阶条件，再
推导出用参数表示的X和Y的需求函数。
解：
?maxU?X2Y2 ?s..tI?PX?PY?XY
L?X2Y2??(I?PXX?PYY)
?L?2XY2??PX?0……（1） ?X?L?2X2Y??PY?0……（2） ?Y?L?I?PXX?PYY?0……（3） ??（1）除于（2）可得：
YPX……（4） ?XPY由（4）得：Y?PXX……（5） PY将（5）代入（3）得：
X?I……（6） 2PXI……（7） 2PY将（6）代入（5）得：
Y?答：（4）式为一阶条件，（6）、（7）式为需求函数。
5、一个消费者每期收入为192元，他有两种商品可以选择：商品A和B，他对两种商品的效用函数为U?AB，PA为12元，PB为8元。根据他的收入，他要购买多少数量的A和B才能获得最大效用，最大效用为多少？如果商品B的价格上涨一倍，即16元，要满足他原来的效用水平，需要增加多少收入？ 解：（1）最大效用问题
?maxU?AB ?s..12tA?8B?192?L?AB??(192?12A?8B) ?L?B?12??0……（1） ?A?L?A?8??0……（2） ?B?L?192?12A?8B?0……（3） ??（1）除以（2）可得：
2A?B……（4）
3（4）代入（3）可得：
B?12……（5）
（5）代入（4）可得： A?8
代入效用函数可得： U?AB?8?12?96 （2）最小支出问题： ?min12A?16B) ?tAB?96?s..L?12A?16B??(96?AB) ?L?12??B?0……（1） ?A?L?16??A?0……（2） ?B?L?96?AB?0……（3） ??（1）除以（2）得：
3B?A……（4）
4（4）代入（3）得： A?128?11.31……（5）
（5）代入（4）得：
3B?128 4I?24128?271.53
?I?271.53?192?79.53
?1?6、设效用函数为u(x1,x2)?(x1??x2 )，其中，0???1。求对应的瓦尔拉斯需求函数。
解: 瓦尔拉斯需求函数是如下最大化问题的最优解:
?1??maxu(x1,x2)?(x1??x2) ?
tp1x1?p2x2?I?s..建立上述最大化问题的拉格朗日方程:
?1?L?(x1??x2)??(I?p1x1?p2x2)
求偏导可得:
?L??(x1??x2)?x11???x1??1??p1?0……（1）
中级微观经济学习题解答最终版5
