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《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案
课题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4
一、教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、教学重、难点
教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义 2、性质与运算律及其应用
教学难点：1、平面向量数量积的概念
2、 平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明
三、教学过程
活动一：创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：
平面向量数量积的物理背景及其含义
活动二：探究数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量，
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F α S 你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵
②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos?叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos?
（2）定义说明：
①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。
4、学生讨论，并完成下表：
?的范围 a·b的符号 0°≤?<90° ?=90° 0°
如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=︱│b│︱cos?
（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 ︱b︱cos? 的乘积。
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平面向量数量积的物理背景及其含义
