高二数学同步测试：圆锥曲线综合
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
x2y2x2y231．椭圆2?2?1 (a>b>0)离心率为,则双曲线2?2?1的离心率为 （ ）
2abab52A． B．5 C． D．5
43242．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为
（ ） A．x?8y B．x??8y C．x?16y D．x??16y
1
3．圆的方程是(x－cos?)2+(y－sin?)2= 2 ,当?从0变化到2?时，动圆所扫过的面积是 （ ） 22)? 2224．若过原点的直线与圆x+y+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）
2222A．22? B．? C．(1?2)? D．(1?A．y?3x B．y??3x C．y?3x 3D．y??3x 3x2y25．椭圆??1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的
123 （ ）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 6．以原点为圆心，且截直线3x?4y?15?0所得弦长为8的圆的方程是 （ ）
A．x?y?5 B．x?y?25 C．x?y?4 7．曲线?222222D．x?y?16 D．3
（ ） （ ）
22?x?2cos?（?为参数）上的点到原点的最大距离为
?y?sin?C．2
22A． 1 B．2
8．如果实数x、y满足等式(x?2)?y?3，则
A．
1 2y最大值 x33B． C． D．3
322y9．过双曲线x2－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A, B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有
2（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．如图，过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若BC?2BF，
y ） 且AF?3，则此抛物线的方程为 （A A．y2?3x 29 C．y2?x
2B．y2?3x D．y2?9x
C O F B x 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．椭圆的焦点是F1（－3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆
的方程为_____________________________．
12．若直线mx?ny?3?0与圆x?y?3没有公共点，则m,n满足的关系式为 ．
22以（m,n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆x?y?1的公共点有 个.
2273y213．设点P是双曲线x?，点A（3，2），使|PA|+1|PF|有最小值时，则点P?1上一点，焦点F（2，0）
322的坐标是________________________________．
14．AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）
22xy15．P为椭圆??1上一点，F1、F2为左右焦点，若?F1PF2?60? 259（1） 求△F1PF2的面积；
（2） 求P点的坐标．（12分）
16．已知抛物线y?4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，
求点M的轨迹方程．（12分）
17．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2) 为圆心，1为
半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y?x对称． （1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（－2，0）及AB的中点，
求直线l在y轴上的截距b的取值范围．（12分）
2
218．如图，过抛物线y?2px(p?0)上一定点P（x0,y0）（y0?0），作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1），
B（x2,y2）．
（1）求该抛物线上纵坐标为
p的点到其焦点F的距离； 2（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1?y2的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.（12
y0y 分）
P
O x
A B
19．如图，给出定点A(a, 0) (a>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点，?BOA的角平分线交AB于点C. 求
点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.（14分） l y
B C
A x
x2y2x2y220．椭圆C1：2?2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2：2?2=1在第一象限内的图象
abab上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
5x2y2212211．??1 12．0?m?n?3, 2 13．(,2) 14．
236273三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）
[解析]：∵a＝5，b＝3?c＝4 （1）设|PF1|?t1，|PF2|?t2，则t1?t2?10 ①
2t12?t2?2t1t2?cos60??82 ②，由①2－②得t1t2?12
?S?F1PF2?113t1t2?sin60???12??33 22233133，将33 代入椭圆方（2）设P(x,y)，由S?y???2c?|y|?4?|y|得 4|y|?33?|y|?y???F1PF2?4442程解得x??513，?P(513,33)或P(513,?33)或P(?513,33)或P(?544444441333 ,?)4416．（12分）[解析]：设M（x,y），P（x1,2y1），Q（x2,y2），易求y?4x的焦点F的坐标为（1，0）
1?x2∵M是FQ的中点，∴ 22yy?2x??x2?2x?1，又Q是OP的中点∴
y2?2yx2?x12y1y2?2?x1?2x2?4x?2，
y1?2y2?4y ∵P在抛物线
y2?4x上，∴(4y)2?4(4x?2)，所以M点的轨迹方程为y2?x?1.
217．（12分）
a21
y2?x,表示焦点为(,0)的抛物线；[解析]：（1）当a?1（2）当0?a?1时，(x?1?a)，表示焦点在x时，y2??142a(1?a)2a1?a2a2)2轴上的椭圆；（3）当a>1时，，表示焦点在x轴上的双曲线. （1设双曲线C的渐近线方程为y=kx，1?a?y?12a2a()21?aa?1(x?则kx-y=0∵该直线与圆x2?(y?2)2?1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为
x2y2??1． a2a2又双曲线C的一个焦点为(2,0)，∴2a2?2，a2?1．∴双曲线C的方程为:x2?y2?1. （2）由?y?mx?1得(1?m2)x2?2mx?2?0．令f(x)?(1?m2)x2?2mx?2
?22?x?y?1∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在(??,0)上有两个不等实根． 因此?2m????0?2?0且?0?21?m2?1?m，解得1?m?2．又AB中点为(m2,1?m1)， 21?m18．（12分）[解析]：（I）当
122． (x?2)． 令x=0，得b??2?2m?m?2?2m?m?2?2(m?1)2?1748∵m?(1,2)，∴?2(m?1)2?17?(?2?2,1)，∴b?(??,?2?2)?(2,??)．
48y pp∴直线l的方程为：y?28p2 又抛物线y?2px的准线方程为x??
2 由抛物线定义得，所求距离为p?(?p)?5p
y?2时，x?
P O x 828 （2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由y12A B 2p(x1?x0)
y1?y0?2px1，y0?2px0
?y0)(y1?y0)?2p(x1?x0),故kPA?y1?y0?x1?x02 相减得(y12p(x2?x0),由PA，PB倾斜角互补知kPA??kPB
y2?y02p2p,所以y?y??2y, 故y1?y2 即????2 120y1?y0y2?y0y0 同理可得kPB? 设直线AB的斜率为kAB,由y2?2px2，y1?2px1,相减得(y2?y1)(y2?y1)?2p(x2?x1)
22 所以kAB?y2?y12p?(x1?x2), 将y1?y2??2y0(y0?0)代入得
x2?x1y1?y2 kAB?2pp??，所以kAB是非零常数.
y1?y2y0
19．（14分）[解析]：设B（－1，b），lOA：y=0, lOB:y=－bx,设C（x,y），则有0?x
沪教版高二：第12章《圆锥曲线》测试
