导数教学中数学实验教学设计与反思
浙江师范大学数理学院（浙江省泰顺县第一中） 何向阳
摘要：《基础教育课程改革纲要（试行）》的公布标志着新一轮课程改革的开始，其观念之新，范围之广，力度之大，是建国以来所少见的，也是我国近代教育所少见的。如何让学生认识到数学是自然的，数学是清楚的。笔者借助几何画板引入数学实验，以高中数学导数部分为例，根据导数的几何意义，通过教师的模拟演示实验、学生的验证实验和探索实验，在教学活动中，通过师生之间、生生之间生动而丰富的“协作”、“会话”，完成对几种常见函数的导数的认识。突破了由于数学逻辑推理的复杂性、学生认知水平的不足而带来的思维困难，极大地改善了学生的数学思维环境。
关键词：几何画板 数学实验 数学教学
实验数学是指在数学领域中运用数、空间和排列等数学元素和方法进行的系统实验。纵观数学发展史，数学家们总是通过实验发现可能的数学事实，然后再给出严格的数学证明。可见在数学发现中，数学实验有着非常重要的作用。近年来由于计算机技术的迅速发展，实验数学展示了前所未有前景，为数学教育提供了探索和发现的工具，正影响着教师的教与学生的学。下面是我在几种常见函数的导数教学中利用《几何画板》开展数学实验的尝试。 联系实际，提出科学问题
问题1：如图，质点P在半径为1cm的圆周上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设A为起始点。
（1）求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的运动方程；
（2）求点M在时刻t时的速度。（利用几何画板课件模拟质点运动）
问题2：（1）试用导数的定义求下列函数的导数：y=3，
y=x2，y=x3；
（2）由（1）的结果，你能总结出这些函数导数的一般规律吗？ （3）当n∈Q时，公式(x)'?nxnn?1是否成立？
n教学中，我让学生分组完成这两个问题，渐渐地，各学习小组为了求y=sinx、y=x（n∈Q）的导数，陷入了困境。
建构主义学习观认为，学习是学习者对新信息的意义主动建构的过程。面对学生呈现出的认知冲突，我没有直接给出结论，而是启发学生从导数的几何意义入手，从函数的图象上探索解决问题的方法。得到了教师的点拔，学生开始有了想法。
学生（以下简称S）1：如能画出导数的图象就好办了，我们也许可以从图象上得到函数的导数。
教师（以下简称T）：这想法好，从原函数出发，能画出导数的图象吗？画函数的图象常用什么方法？
S2：有了，用描点法，先画出曲线y=f (x)在点(x0，y0)处的切线，并想办法求它的斜率k，便可描出点(x0，k)，则点(x0，k)是y=f(x)的导数图象上的点。
S3马上说：你的想法好是好，现实吗？ S2：可以呀，通过几何画板就能做到。
T：几位同学分析得很好，使用“几何画板”时，点(x0，k)只需画一点就行了，通过“几何画
板”的追踪功能，拖动曲线的切点便可轻松得到导数的图象。下面就请几何画板帮忙，看看能得到什么。
实例分析：以几何画板教学软件为平台的现代数学实验，是模拟实验环境进行教学的新型教学模式，是信息技术与数学课程整合的理想模式之一。教师通过信息技术手段，引导学生通过实验操作，主动、积极、批判地思考，发现、验证数学命题，体验数学发现和创造历程，发展他们的创新意识和实践能力。
实验1：函数y= x（n∈Q）的导数 [实验目的]
（1）学会用实验验证函数的导数； （2）认识和感受导数的几何意义。 [实验步骤]
（1）绘制函数y=x(n= )及y=nx的图象； （2）用[自定义工具]作过y=x的图象上点P处的切线；
（3）[度量]P的横坐标xP及切线的斜率k，[绘制]点A（xP，k），并观察点A（xP,k）与函数
nnn-1
ny=nxn-1的图象有什么关系。拖到点P时，看到了什么现象？这说明了什么？
（4）在y=nx的图象上任一点B，[度量]B的横、纵坐标xB、yB；
n-1
（5）绘制直线y= yB(x-xB)+ xB，并观察直线与函数y=x的图象有什么关系。拖到点B时，看到了什么现象？这说明了什么？
（6）通过实验你得到了什么结论？ [实验分析]
S4：我们小组取n=0.5。拖到点P时，看到了点A（xP，k）在y=0.5x明了y=x的导数图象上的点在y=0.5x0.5
0.5
-0.5
-0.5
nn的图象上运动，这说
0.5
的图象上；拖到点B时，看到直线与函数y=x的图象
nn?1始终保持相切，这说明了点B在y=x的导数图象上；因此我们小组得出的结论是：公式(x)'?nx中的n可以是有理数。
通过反馈得知，选做这个实验的其他各小组同学虽指数的取值各不相同，却都得到了相同的结论。
实验2：函数y= sinx和y= cosx的导数 [实验目的]
（1）学会用实验探求函数y=sinx、y=cosx的导数； （2）体验几何画板作为学习数学的工具，感受创新的快乐；
（3）学会探索、归纳、完成数学发现。 [实验步骤]
（1）绘制函数y=sinx和y=cosx的图象； （2）用[自定义工具]作过y=sinx或y=cosx的图象上点P处的切线；
（3）[度量]P的横坐标xP及切线的斜率k，[绘制]点A（xP，k），并[追踪]点A；拖到点P时，看到了什么？
（4）得到的踪迹是谁的图象，试根据点A的踪迹写出它的函数关系式。
（5）通过实验你得到了什么结论？ [实验分析]
S5：我们小组通过实验发现点A的踪迹是余弦函数y=cosx的图象，也就是y=sinx的导数的图象，这说明正弦函数的导数是余弦函数，即(sinx)?cosx。
'
S6：我们小组通过实验发现点A的踪迹刚好是正弦函数y=sinx的图象向左平移π个单位，即
(cosx)'?sin(x??)??sinx。
S7：如画出y=sinx的图象，你会发现点A的踪迹与y=sinx的图象关于x轴对称，因此有
(cosx)'??sinx
以上三个实验分小组完成，每小组承担一个实验，教师巡逻指导，并指点计算机操作能力较弱的学生借助课件里的帮助文本进行作图，最终成功地发现了几种常见函数的导数。 案例分析，反思实验教学
建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四大要素或四大属性。在以上的教学设计中，教师利用现代教育技术为学生的学习研究创设情景，提供平台，让学生在自己的活动中，通过他们之间生动的丰富的“协作”、“会话”，完成对几种常见函数的导数的认识——意义建构。这样的教学效果是传统的教学方式所无法比拟的。
1、转变教学理念，顺应课程改革
在高中阶段，导数作为大学微积分内容的一种缩编，以一种特殊的极限来讲，无论是导数的概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教、来学。这往往成了学生学习的障碍，影响了学生对导数思想和本质的认识与理解。《标准》强调对导数本质的认识，更作为一种重要的思想、方法来学习，淡化了导数的计算，只要求会用基本初等函数的导数及法则进行计算，并指出要避免过量的形式化运算练习；提高了对导数几何意义以及用导数的几何意义解决问题的要求，体现几何直观这一重要思想方法对于数学学习的意义和作用。因此，借助于“几何画板”这一动态的、能够“做数学”的教学软件，根据导数的几何意义，引入数学实验，反复通过函数的图象去认识、探索、发现几种常见函数的导数。扩大了数学实践的内容和范围，使教学活动不再局限于演绎推理的形式之中，利于学生对知识的建构，利于学生认识和感受导数的几何意义，经历用导数的几何意义去解决问题、发现数学规律的过程。
2、结合学生实际，优化课堂教学
教师用几何画板课件模拟质点P的运动，揭示运动规律，为学生创设了生动形象的教学情境，引起学生极大的兴趣，为下一步探索问题创造一个良好的开端。
在教学中，对“为什么公式(x)'?nx'nn?1中的n可以是有理数”、“(sinx)?cosx” 和
'“(cosx)??sinx”等的认识，由于数学逻辑推理的复杂性、学生认知水平的不足，常常成了教学的“死点”。这样的教学设计中，把重点放在对知识的重新组织上，让学生利用导数的几何意义
通过数学实验进行直观处理，实现对几种函数的导数的认识，极大地改善了学生的数学思维环境，救
导数教学中数学实验教学设计与反思
