2019年编·人教版高中数学
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念 课时演练·促提升 A组 1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:=-1. 答案:B
2.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积的增加量ΔS等于( )
2
A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)
22
C.4πRΔR+4π(ΔR) D.4π(ΔR)
222
解析:ΔS=4π(R+ΔR)-4πR=8πRΔR+4π(ΔR). 答案:B
2
3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx-b(Δx)(a,b为常数),则( ) A.f'(x0)=a B.f'(x0)=b C.f'(x0)=-b D.f'(x0)=0 解析:f'(x0)=
=(a-bΔx)=a. 答案:A
2
4.函数y=x在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( ) A.k1>k2 B.k1 k2==2x0-Δx. 因为Δx的符号可正可负但不能为0,所以k1,k2的大小不确定,故选D. 答案:D 2 5.若一物体的运动方程为s(t)=2-t,则该物体在t=6时的瞬时速度为( ) A.8 B.-4 C.-6 D.6 解析:瞬时速度为=-6. 答案:C 2 6.一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t,则物体的初速度是 . 解析:v初=s'|t=0=(3-Δt)=3. 答案:3 2 7.已知曲线y=x+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为 . 解析:设M(x0,y0),则 =(2x0+Δx)=2x0=-4,∴x0=-2.∴y0=4+1=5. ∴点M的坐标为(-2,5). 答案:(-2,5) 2 8.已知函数f(x)=ax+2,且f'(-1)=2,求实数a的值. 解:因为f'(-1)= = =(-2a+aΔx)=-2a, 又因为f'(-1)=2,即-2a=2,所以a=-1. 9.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min). (1)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少? (2)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温平均变化率是多少?它代表什么实际意义? (3)求T'(5),并说明它的实际意义. 解:(1)在t=0和t=10时,蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39(℃),T(10)=+15=23(℃),从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了39-23=16(℃). (2)体温平均变化率=-1.6. 它表示从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T'(5)= ==-1.2. 它表示t=5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. B组 1.函数f(x)在x=a处可导,则等于( ) A.f(a) B.f'(a) C.f'(h) D.f(h) 解析:令h-a=Δx,则h=a+Δx, 故=f'(a). 答案:B 2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是( ) A.甲 B.乙 C.相同 D.不确定 解析:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),但是,在t0-Δt处,W1(t0-Δt) 汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是 . 解析:=kMA,=kAB,=kBC.由图象可知kMA 2 4.求y=x++5在x=2处的导数. 2 解:Δy=(2+Δx)++5- =4Δx+(Δx)2+, ∴=4+Δx-. ∴y'|x=2==4+0-. 32 5.航天飞机发射后的一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t+30t+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)h(0),h(1)分别表示什么? (2)求第1 s内高度的平均变化率; (3)求第1 s末高度的瞬时变化率,并说明它的意义. 解:(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度,h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度. (2)=80, 即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s. 2 (3)h'(1)=[5(Δt)+45Δt+120]=120, 即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s. 它说明在第1 s末附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加. 6.若一物体的运动方程为s=(路程单位:m,时间单位:s).求: (1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度; (2)物体在t=1 s时的瞬时速度. 22 解:(1)因为Δs=3×5+2-(3×3+2)=48,Δt=2,所以物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度为=24(m/s). 222 (2)因为Δs=29+3[(1+Δt)-3]-29-3×(1-3)=3(Δt)-12Δt,所以=3Δt-12, 则物体在t=1 s时的瞬时速度为s'(1)=(3Δt-12)=-12(m/s).