2019年人教版 高中数学 选修2-2 1.1.1-1.1.2变化率问题 导数的概念课后习题

2019年编·人教版高中数学

1.1.1 变化率问题

1.1.2 导数的概念 课时演练·促提升 A组 1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )

A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:=-1. 答案:B

2.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积的增加量ΔS等于( )

2

A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)

22

C.4πRΔR+4π(ΔR) D.4π(ΔR)

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解析:ΔS=4π(R+ΔR)-4πR=8πRΔR+4π(ΔR). 答案:B

2

3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx-b(Δx)(a,b为常数),则( ) A.f'(x0)=a B.f'(x0)=b C.f'(x0)=-b D.f'(x0)=0 解析:f'(x0)=

=(a-bΔx)=a. 答案:A

2

4.函数y=x在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( ) A.k1>k2 B.k1

k2==2x0-Δx.

因为Δx的符号可正可负但不能为0,所以k1,k2的大小不确定,故选D. 答案:D

2

5.若一物体的运动方程为s(t)=2-t,则该物体在t=6时的瞬时速度为( ) A.8 B.-4 C.-6 D.6 解析:瞬时速度为=-6. 答案:C

2

6.一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t,则物体的初速度是 . 解析:v初=s'|t=0=(3-Δt)=3. 答案:3

2

7.已知曲线y=x+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为 . 解析:设M(x0,y0),则

=(2x0+Δx)=2x0=-4,∴x0=-2.∴y0=4+1=5. ∴点M的坐标为(-2,5). 答案:(-2,5)

2

8.已知函数f(x)=ax+2,且f'(-1)=2,求实数a的值. 解:因为f'(-1)=

=

=(-2a+aΔx)=-2a,

又因为f'(-1)=2,即-2a=2,所以a=-1.

9.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).

(1)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少?

(2)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温平均变化率是多少?它代表什么实际意义? (3)求T'(5),并说明它的实际意义.

解:(1)在t=0和t=10时,蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39(℃),T(10)=+15=23(℃),从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了39-23=16(℃).

(2)体温平均变化率=-1.6.

它表示从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T'(5)= ==-1.2.

它表示t=5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.

B组

1.函数f(x)在x=a处可导,则等于( ) A.f(a) B.f'(a) C.f'(h) D.f(h) 解析:令h-a=Δx,则h=a+Δx,

故=f'(a). 答案:B

2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是( )

A.甲 B.乙 C.相同 D.不确定

解析:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),但是,在t0-Δt处,W1(t0-Δt)

汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是 . 解析:=kMA,=kAB,=kBC.由图象可知kMA

2

4.求y=x++5在x=2处的导数.

2

解:Δy=(2+Δx)++5-

=4Δx+(Δx)2+, ∴=4+Δx-. ∴y'|x=2==4+0-.

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5.航天飞机发射后的一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t+30t+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.

(1)h(0),h(1)分别表示什么?

(2)求第1 s内高度的平均变化率;

(3)求第1 s末高度的瞬时变化率,并说明它的意义.

解:(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度,h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度.

(2)=80,

即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.

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(3)h'(1)=[5(Δt)+45Δt+120]=120, 即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s.

它说明在第1 s末附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加. 6.若一物体的运动方程为s=(路程单位:m,时间单位:s).求: (1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度; (2)物体在t=1 s时的瞬时速度.

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解:(1)因为Δs=3×5+2-(3×3+2)=48,Δt=2,所以物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度为=24(m/s).

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(2)因为Δs=29+3[(1+Δt)-3]-29-3×(1-3)=3(Δt)-12Δt,所以=3Δt-12, 则物体在t=1 s时的瞬时速度为s'(1)=(3Δt-12)=-12(m/s).