天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）
研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况
（天津工程师范学院理学院物理0701班，天津 300222）
摘 要 通过求解微分方程的方法分析了带电粒子在均匀电磁场中的运动规律。带电粒子
在纯电场、纯磁场中运动时，其运动轨道分别是抛物线和螺旋线；当电磁场并存时，根据相对论基本原理，带电粒子在均匀电磁场中运动时，其运动轨迹与电磁场的大小、方向有关，其运动可以看成是3个运动：z轴上的匀速加速直线运动、xy平面上的匀速圆周运动和一个沿x轴的匀速直线运动的合运动。而在某些特殊条件下，带电粒子可能只参与3个运动中的1～2个运动，需要进行详细的讨论。并且运用了matlab软件进行图形绘制，将几种情况通过静态和动态图形进行立体性的展示，对于该课题的研究可充分理解、掌握。该课题研究旨在巩固解决物理问题中所涉及到的数学物理方法以及学习matlab软件的使用方法、语言编辑及显示图形的方法。
关键词 带电粒子；均匀电场；均匀磁场；电磁场；运动轨迹
一、引言： 1、课题简介：
带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况是一个重要的研究课题，对于物理学和科学技术的许多领域都有重大意义。就应用而言，质谱仪、示波器、电子显微镜、电视显像管、磁控管、粒子加速器等都与它有着密切的联系。所以，带电粒子在电磁场中的运动的分析研究是一个非常重要且前景非常大、非常好的课题。 2、研究课题：
研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动：
设带电粒子的质量为m，带电量为q，电磁场的电场强度为E，磁感应强度为B，分下列三种情况进行考虑：
（1）电场强度和磁感应强度都不为零时； （2）电场强度为零，磁感应强度不为零时； （3）电场强度不为零，磁感应强度为零时。 要求：
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（1）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况，画出粒子运动轨迹； （2）学习用指令axes在图形窗口的不同位置设定坐标轴来画多个图形。 3、课题观点：
对于带电粒子在电磁场中的运动规律，一般教材都只对一些特殊情况进行了讨论。例如在均匀电场中，带电粒子作匀加速直线运动或类抛体运动；在均匀磁场中，带电粒子作匀速直线运动、匀速圆周运动或等螺距的螺旋线运动
【1，2】
．而对于空间既有电场又有磁场的情
【3】
况，一些文献中也仅限于讨论粒子在互相垂直的电场和磁场中的运动。本文通过运用求
解微分方程的方法研究分析了带电粒子在均匀电磁场中的运动规律。 二、用微分方程求解带电粒子在电磁场中的运动方程： 1、带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程：
如图1所示，在三维直角坐标系Oxyz中，磁感应强度B=Bzk，电场强度为E=Eyj+Ezk。当t=0时，一质量为m，电量为q的带电粒子从坐标原点O经过，速度为v0=vx0i+vy0j+vz0k。
在不考虑重力作用情况下，带电粒子在任意时刻t所受到的合外力为
F=qE+qv×B=qEyj+qEzk+q(vxi+vyj+vzk)×Bzk =qvyBzi+q(Ey-vxBz)j+qEzk
根据牛顿第二运动定律，粒子的运动微分方程为
d2xqvyBz? （1） 2dtmd2yq(Ey?vxBz)? （2） 2dtmd2zqEz?2dtm初始条件为：
（3）
x|t=0=0， y|t=0=0， z|t=0=0 vx|t=0=vx0， vy|t=0=vy0， vz|t=0=vz0 2、求解微分方程：
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根据式（1）得
md2xmdvxvy??2qBzdtqBzdt （4）
将式（4）两边对时间求一阶倒数得
dvymd2vx?dtqBzdt2 （5）
将式（5）代入式（2）得
2q2BzEyd2vx?qBz????0 ?vx?22dtm?m?d2dt2Ey???vx?Bz?2Ey???qBz??????m???vx?B???0
??z???令
2qBzqB??2zf?vx???0，a?，其特征方程为：???Bzm?m?Ey
求得??ai?从而可知f?Acosa?Bsina
所以我们可将结果变为
vx?EyBz?Acosa?Bsina 的形式
【3】
【6】
这是一个二阶常系数线性微分方程，我们根据特征根法，可以解得
qBzqBzvx??c1sint?c2cost （6）
Bzmm积分可求得 x?EyEyBzt?cx0?c1mqBzc2mqBzcost?sint（7） qBzmqBzm将式（6）代入式（1）得
qBzqBzvy?c1cost?c2sint （8）
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c1mqBzc2mqBzy?cy0?sint?cost （9）
qBzmqBzm将初始条件x|t=0=0，y|t=0=0，vx|t=0=vx0，vy|t=0=vy0代入式（6）～（9）得
Ey?m?Ey??c??v?cx0?x0， y0， c1?vy0， c2?vx0???qBz?Bz?qBzBzmvy0
Ey?qBzqBzm??x?t??cost?vx0??sint （10） ??BzqBzqBzmqBz?Bz?mEy?Ey?qBzqBzm?m???y?sint?vx0???cost?vx0?? （11） ???qBzmqBz?Bz?mqBz?Bz??根据式（3）和初始条件z|t=0=0，vz|t=0=vz0
Eymvy0mvy0mvy01qEz2t （12） 可得 z?vz0t?2m式（10）、（11）和（12）即为带电粒子在均匀电磁场中的运动方程。 三、分析带电粒子在均匀磁场中的运动方程：
1、当带电粒子处于磁感应强度为B=Bzk的磁场中时，其速度为v0=vx0i+vy0j+vz0k。 其所受洛仑兹力为F= qv×B=-qvx Bzk +qvyBzj
d2xqvyBz?2dtm?
dvymd2vx?dtqBzdt2
qvxBzd2y??2dtmd2z?0 2dt初始条件为：
x|t=0=0， y|t=0=0， z|t=0=0 vx|t=0=vx0， vy|t=0=vy0， vz|t=0=vz0 2、求解微分方程：
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22mdvxqvxBz??02qBzdtm由特征根法： vx?c1sin2dvx?qBz??vx?0 ?dt2???m?qBzqBzt?c2cost mmc1mqBzc2mqBzcost?sint 积分得：x?cx0?qBzmqBzm?v?x?c1qBzqBzqBzqBzcost?c2sint mmmmmqBzqBzv?vx?c1cost?c2sint
yqBzmmc1mqBzc2mqBzy?cy0?sint?cost
qBzmqBzm将初始条件代入上述方程中，可得：
mvy0mvx0qBzqBzx??cost?sint?qBzmqBzmqBzmvx0mvy0mvx0qBzqBzy???sint?cost
qBzqBzmqBzmmvy0
z?vz0t
四、分析带电粒子在均匀电场中的运动方程：
1、当带电粒子处于电场强度为E=Eyj+Ezk的均匀电场中时，其所受的库伦力为F= qEyj+qEzk
d2xd2yqEy?0 2?2dtdtm初始条件为：
x|t=0=0， y|t=0=0， z|t=0=0 vx|t=0=vx0， vy|t=0=vy0， vz|t=0=vz0
d2zqEz?2 dtm
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