.
(1) ．求f(?)和f(?)的值。
（2）．证明：f(x)在[?,?]上是增函数。 （3）．对任意正数x1、x2,求证：f(x1??x2?x??x2?)?f(1)?2???
x1?x2x1?x213．解析：（1）．由根与系数的关系得，???? ?f(?)?t,????1. 24??t4??2(???)281?????(t?t2?16). 22??1?????t?t2?162 同法得f(?)?
(2).证明：?f/(x)=
1(t2?16?t). 24(x2?1)?(4x?t)2x?2(2x2?tx?2)?,而当x?[?,?]时， 2222(x?1)(x?1) 2x2-tx-2=2(x-?)(x??)?0,故当x?[?,?]时, f/(x)≥0,
? 函数f(x)在[?,?]上是增函数。 （3）。证明：
x1??x2?x(???)x??x2?x(???)???2?0,1???1?0,
x1?x2x1?x2x1?x2x1?x2 ???x1??x2?x??x2???, 同理??1??.
x1?x2x1?x2x1??x2?x??x2?)?f(?),故?f(?)??f(1)??f(?).
x1?x2x1?x2x1??x2?)?f(?).两式相加得:
x1?x2x1??x2?x??x2?)?f(1)?f(?)?f(?),
x1?x2x1?x2 ?f(?)?f( 又f(?)?f( ?[f(?)?f(?)]?f( 即f(x1??x2?x??x2?)?f(1)?f(?)?f(?).
x1?x2x1?x2 而由（1），f(?)??2?,f(?)??2? 且f(?)?f(?)?f(?)?f(?),
'.
.
? f(x1??x2?x??x2?)?f(1)?2???.
x1?x2x1?x2*14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的n?N，都有
4Sn??an?1?.
I、求数列?an?的通项公式.
n*II、若2?tSn对于任意的n?N恒成立，求实数t的最大值. 214．(I)Q4S1?4a1?(a1?1),?a1?1.当n?2
2时,4an?4Sn?4Sn?1??an?1???an?1?1?,
22?2?an?an?1??an2?an?12,又{an}各项均为正数,?an?an?1?2.数列?an?是等差数列,
?an?2n?1.
?2n?2n(II) Sn?n,若2?tSn对于任意的n?N恒成立,则t?min?2?.令bn?2,.当
n?n?2n*n?3时,
bn?12n2n2?(n?1)n?n???122bn(n?1)n?2n?1.又
b1?2,b2?1,b3?89，
?2n?88?min?bn??min?2??.? t的最大值是.
9?n?9
15.已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且
3MQ， 2（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），
使得△ABE为等边三角形，求x0的值.
y3x15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由PM=－MQ,得P(0,－),Q(,0), 2分
232y3y由HP·PM=0，得（3，－）(x,)=0,又得y2=4x, 5分
22满足HP·PM=0，PM=－
'.
.
由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. （2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,① 7分 设A（x1,y1）,B(x2,y2),
2(k2?2)则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－,x1x2=1, 2k2?k22所以，线段AB的中点坐标为(,),
kk22?k221线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－),
kkk222令y=0,x0=2+1,所以点E的坐标为(2+1,0)
kk因为△ABE为正三角形，所以点E（
8分 9分
23+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜, 22k
10分
41?k221?k而｜AB｜=(x1?x2)?(y1?y2)=·,
k222231?k421?k2所以，=,
k2k解得k=±
16.设f1(x)=
11分
311,得x0=. 23 12分
f(0)?12,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=n,其中n∈N*.
fn(0)?21?x(1) 求数列｛an｝的通项公式； 16.（1）f1(0)=2,a1=
22?11=,fn+1(0)=f1［fn(0)］=,
1?fn(0)2?241?1fn?1(0)?11?fn(0)1?fn(0)1fn(0)?11an+1====－=－an,
2fn?1(0)?24?2fn(0)2fn(0)?22?21?fn(0)∴数列｛an｝是首项为
17． 已知a=（x,0），b=（1，y），（a+3b）?（a–3b）．
'.
?????? 4分
1111－
,公比为－的等比数列，∴an=(－)n1. 4242 6分
.
（I） 求点?（x，y）的轨迹C的方程；
（II） 若直线L：y=kx+m(m?0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，
试求m的取值范围．
17．解（I）a+3b=（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),
???a–3b=（x, 0）?3(1,y)= (x?3,–3 y).?(a+3b)?(a?3b),
??????3?b?? ?(a+)·(a?3b)=0, ?(x+3)( x?3)+3y·(?3y)=0, 故P点的轨迹方程为x2?y23?1． （６分） （II）考虑方程组?y?kx?m,??2 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 ?x?3?y2?1,显然1-3k2?0, ?=(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.
设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=6km，x0=x1?x2m1?3k22?3km1?3k2, y0=kx0+m=
1?3k2,
故AB中点M的坐标为（3km，
m1?3k2）,
1?3k2?线段AB的垂直平分线方程为y?m1?3k2=（?1k）(x?3km1?3k2),
将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k2?1,
故m、k满足??m2?1?3k2?0,3k?1, 消去k2得 m2?4m>0, 解得 m<0或m>4. ?4m?2又?4m=3k2?1>?1, ? m??14, 故m?(?14,0)?(4,+?)． （１２分）
'.
(*)
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18．已知函数f(x)对任意实数p、q都满足f(p?q)?f(p)?f(q),且f(1)?.
（1）当n?N?时，求f(n)的表达式； （2）设an?nf(n)13
3(n?N?),求证：?ak?;
4k?1(n?N?),Sn??bk,试比较?nn
nf(n?1)（3）设bn?1与6的大小． nf(n)k?1k?1Sk18．(1)解 由已知得f(n)?f(n?1)?f(1)?13?f(n?1)?(13)2?f(n?2)?L ?(13)n?1?f(1)?(13)n． (4分) (2)证明 由(1)可 知 a1nn?n?(3),设Tn??nak
k?1则Tn?1?1?2?(1)21n33?L?n?(3).
n ?1T121L??n?1???1???n?(1n?1?()?2?()3?)n?1333?3?3．
两式相减得2T1?(1)2?(1)3+…+(1)n?n?(1n?13n?33333) n ?1??1?(1)n??1n?1311n?2?3??n?(3),? Tn??ak?k?14?4(3)1?n2?(13)n?34． （3）解 由（1）可知b1n3.?S1n)?n(n?1)n?nn??bk?(1?2?L?, k?136则
1611S?n(n?1) =6(n?n?1), nn故有?1?6(1?12?12?13?L?111k?1Skn?n?1) =6(1?n?1)?6． （１４分）
19．已知函数f(x)?logax(a?0且a?1),若数列：2,f(a1),f(a2),…，
'.
9分） （
2024年高考数学压轴题(教师版(文))
