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7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,PH???x,0?,PM=（－2－x,－y）
??PN=（2－x,－y）
∴PM··（2－x,－y）=x?4?y PN=（－2－x,－y）
??22?PH?x
???由题意得∣PH∣2=2·PM·PN 即x?2x?4?y2?22?
x2y2??1，所求点P的轨迹为椭圆 即84（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣ 双曲线的C实轴长2a=QM?QN?QM?QE?ME?10（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为10
所以，双曲线C的实半轴长a=又?c?10 213NM?2,?b2?c2?a2? 22x2y2??1 ∴双曲线C的方程式为53228．已知数列{an}满足a1?3a(a?0),an?1 （1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与8.（1）bn?2an?a2a?a ?,设bn?n2anan?a7的大小，并证明你的结论. 812n?1
'.
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1711111111111 （2） Sn??(4?8?16???)??(?4??4?2??)??16??08222816222281?1829．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y?x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引
?F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x?(y?2)?1相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
22x2y2故设双曲线C的方程为2?2?1．
aa又双曲线C的一个焦点为 (2,0)
∴2a?2，a?1．
∴双曲线C的方程为x?y?1．………………………………………………4分 （Ⅱ）由?2222?y?mx?122?x?y?122令f(x)?(1?m)x?2mx?2
22得(1?m)x?2mx?2?0．
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在(??,0)上有两个不等实根．
????0??2m因此??0 解得1?m?2． 21?m???2?0?2?1?mm1又AB中点为(,)， 221?m1?m1(x?2)．………………………………6分 ∴直线l的方程为y??2m2?m?222?令x=0，得b?． 2117?2m?m?2?2(m?)2?48∵m?(1,2)，
'.
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117?(?2?2,1)
48∴b?(??,?2?2)?(2,??)．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|?|QF1|， 若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|?|QF1|．
∴?2(m?)2?根据双曲线的定义|TF2|?2，所以点T在以F2(2,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
(x?2)2?y2?4(x?0) ①…………………………………………10分 由于点N是线段F1T的中点，设N(x,y)，T(xT,yT)．
?x?2x?T??xT?2x?2?2则?，即?．
?yT?2y?y?yT?2?代入①并整理得点N的轨迹方程为x?y?1．(x??10．f(x)对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?（Ⅰ）求f()和f()?f(222)………………12分 21. 2n?1) (n?N)的值． n12n?1（Ⅱ）数列?an?满足：an=f(0)+f()?f()????f(数列?an? 是)?f(1)，
nnn等差数列吗？请给予证明；
试比较Tn与Sn的大小．
10 解：（Ⅰ）因为f()?f(1?)?f()?f()?121n1111111．所以f()?．……2分
222222411111n?11令x?，得f()?f(1?)?，即f()?f()?．……………4分
nnn2nn21n?1（Ⅱ）an?f(0)?f()???f()?f(1)
nnn?11又an?f(1)?f()???f()?f(0)………………5分
nn两式相加
1n?1n?1． 2an?[f(0)?f(1)]?[f()?f()]???[f(1)?f(0)]?nn2n?1,n?N，………………7分 所以an?4n?1?1n?11又an?1?an???．故数列{an}是等差数列．………………9分
444'.
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（Ⅲ）bn?44an?1?4 n22Tn?b12?b2???bn
111????) 2232n2111?16[1?????]………………10分
1?22?3n(n?1)11111?16[1?(1?)?(?)???(?)]………………12分
223n?1n116?16(2?)?32??Sn
nn所以Tn?Sn……………………………………………………………………14分 ?16(1?
→·→＝0，求以OA、OB11．如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且OAOB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.
11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0
则OA的方程为y＝kx
?y＝kx2p2p由?2解得A(2，)
kk?y＝2px
……4分
1
又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－x
k
?y＝－1x?
k解得B(2pk2，－2pk) 由?
?y2＝2px?
pp
从而OA的中点为A'(2，)，OB的中点为B'(pk2，－pk)
kk所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为 2px2py
x2＋y2－2－＝0 ……①
kkx2＋y2－2pk2x＋2pky＝0 ……②
∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0 1
由①－②并化简得y＝(k－)x ……③
k1
将③代入①，并化简得x(k2＋2－1)＝2p ……④
k由③④消去k，有x2＋y2－2px＝0
'.
……4分
……6分
……10分
.
∴点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点). 9
12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋2)的定义域为R
m－3
……13分
(1)求实数m的取值集合M；
(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.
12．(1)由题意，有x2－2mx＋2m2＋9
m2－3
＞0对任意的x∈R恒成立
所以△＝4m2－4(2m2＋9
m2－3)＜0
即－m2－9
m2－3＜0
(m2－3
)2＋27
∴2
m2－3
＞0
由于分子恒大于0，只需m2－3＞0即可
所以m＜－3或m＞3
∴M＝{m|m＜－3或m＞3}
(2)x2－2mx＋2m2＋999
m2－3＝(x－m)2＋m2＋m2－3≥m2＋m2－3
当且仅当x＝m时等号成立.
所以，题设对数函数的真数的最小值为m2＋9
m2－3
又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f(x)≥log3(m2＋9
m2－3
)
∴当且仅当x＝m(m∈M)时，f(x)有最小值为log3(m2＋9
m2－3
) 又当m∈M时，m2－3＞0 ∴m2＋99
m2－3＝m2－3＋m2＋3≥2(m2－3)·9
－3
m2－3
＋3＝9
当且仅当m2－3＝9
m2－3，即m＝±6时，
log3(m2＋9m－3有最小值log3(6＋9
2)6－3)＝log39＝2
∴当x＝m＝±6时，其函数有最小值2.
13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为?,?(???),函数f(x)=
4x?tx2?1.'.
……4分
……7分 ……10分
2018年高考数学压轴题(教师版(文))
