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2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)（c?0）的准线l与x
轴相交于点A，OF?2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；
uuuruuur（2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；
x2y21．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为2??1(a?2)。
a2?a2?c2?2,? 由已知得?解得a?6,c?2 a2?c?2(?c).c?x2y26所以椭圆的方程为?。 ?1，离心率e?362（2）解：由（1）可得A（3，0）。 ?x2y2?1,??设直线PQ的方程为y?k(x?3)。由方程组?6 2?y?k(x?3)?66。 ?k?3318k227k2?6设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?2， ① x1x2?。 ②
3k?13k2?1得(3k2?1)x2?18k2x?27k2?6?0，依题意??12(2?3k2)?0，得?由直线PQ的方程得y1?k(x1?3),y2?k(x2?3)。于是
y1y2?k2(x1?3)(x2?3)?k2[x1x2?3(x1?x2)?9]。 ③ uuuruuur∵OP?OQ?0，∴x1x2?y1y2?0。 ④
由①②③④得5k2?1，从而k??566?(?,)。 533所以直线PQ的方程为x?5y?3?0或x?5y?3?0
2．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x?1)?f(x)?1，且当x?[0,2]时，
'.
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f(x)?|x?1|。
（1） x?[2k,2k?2](k?Z)时，求f(x)的表达式。 （2） 证明f(x)是偶函数。 （3） 试问方程f(x)?log41?0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若x没有实数根，请说明理由。
2．①f(x)=x?2k?1 (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根
3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x?(y?3)?1。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形10PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。 8 y6
4C
2
F
x-15-10-55OX
-2
2
3．①x=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN=7 -42210-6x22-84．以椭圆2?y＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形， a试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
4．解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）
则AB∶y＝－
-101x＋1 k
把BC方程代入椭圆， 是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0
'.
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2a2k2a22∴|BC|＝1?k，同理|AB|＝1?k 22221?akk?a2由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0
（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0 ∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0
当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a＜3
由Δ＝0，得a＝3，此时，k＝1 故，由Δ≤0，即1＜a≤3时有一解 由Δ＞0即a＞3时有三解
5．已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.
5． 解：依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax2＋2bx＋c＝0.（*） Δ＝4（b2－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0 ∴f（x）、g（x）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知
|A1B1
|2＝
4b2?4ac4(a?c)2?4ac?
a2a2?422(a?c?ac) a2c??c?4?()2??1?(**)
a??a'.
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?a?b?c?0∵??a?b∵??2a?c?0，而a＞0，∴
c1?? a2c??2 a?a?b?c?0?c?b?a?2c?0，∴
c1?? a2cc∴4［（）2＋＋1］∈（3，12）
aa∴?2?∴|A1B1|∈（3，23）
6． 已知过函数f（x）=x?ax?1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。 （1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立； （3） 令g?x???f?x??3x?tx?1。是否存在一个实数t，使得当x?(0,1]时，g（x）
232有最大值1？
6、解：（1）f''?x?=3x2?2ax
依题意得k=f?1?=3+2a=－3， ∴a=－3
?f?x??x3?3x2?1，把B（1，b）代入得b=f?1???1
∴a=－3，b=－1 （2）令f'?x?=3x2－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3 f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987 ∴A≥2004。
（1） 已知g（x）=－x?3x?1?3x?tx?1??x?tx ∴g?x???3x?t
'2?32?23∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0， ① 当t＞3时，t－3x2＞0，即g?x??0
''.
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∴g（x）在(0.1]上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t≤3时, g?x???3x?t
'2令g?x?=0,得x=
't 3列表如下:
x （0, t） 3＋ ↗ 3t 30 极大值 (t,1] 3－ ↘ g'?x? g（x） ?t?tt?＋tg（x）在x=处取最大值－?=1 ??33?3?327t32∴t=3=＜3
432∴x=
t＜1 3'2③当t＜0时，g?x???3x?t＜0，∴g（x）在(0.1]上为减函数， ∴g（x）在(0.1]上为增函数，
332∴存在一个a=，使g（x）在(0.1]上有最大值1。
2
7． 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱PH︱是2和PM?PN 的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C
的方程。
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2018年高考数学压轴题(教师版(文))
