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一．单项选择题（1～5小题，每小题3分，共15分）与填空题（6～10小题，每小题3分，共15分），本题满分30分.
(?1)n?k1. 设k为常数，则级数? 【 A 】 n2n=1? (A) 绝对收敛 (B) 发散
(C) 条件收敛 (D) 是否收敛与k有关 2. 已知二重积分
??f(x,y)dxdyD的积分区域D由曲线
y=x2及直线y=0,x=1围成， 则下列选项正确的是 【 B 】
(A) ??f(x,y)dxdy=?dx?D011x2f(x,y)dy=?dy?011yf(x,y)dx
(B) ??f(x,y)dxdy=?dx?D01x20f(x,y)dy=?dy?011yf(x,y)dx
y (C) ??f(x,y)dxdy=?dx?D011x2f(x,y)dy=?dy?010f(x,y)dx
(D)
??Df(x,y)dxdy=?dx?01x20f(x,y)dy=?dy?01y0f(x,y)dx
3. 如果用待定系数法求微分方程y???y=(2x?1)ex的一个特解y*=【 C 】 (A) (ax+b)ex (B) x2(ax+b)ex (C) x(ax+b)ex (D) a(2x?1)ex
4. 设?表示圆柱面x2+y2=R2介于z=0和z=2之间的部分，则曲面积分
?????????y?dS= 【 D 】 22?x+y?1 (A) 2?R (B) 2? (C)4?R (D)4? 5. 已知f(x)以2?为周期，它在一个周期上的表达式为
??x,f(x)=??x,???x?0
0?x??若f(x)的傅里叶级数的和函数为s(x)，则s(2017?)= 【 C 】
11(A) ?? (B)?? (C)? (D)?22 6. 函数z=e2x?y在点(0,0)处的全微分dz= 2dx?dy
x?1y?1z?1== 2217. 曲面x2+y2+z=0在点M(1,1,1)处的法线方程为
8. 已知向量a=(1,0,1),b=(2,?,??1),且a⊥b，则?= -1 9. 已知L的方程为x+y=1，则曲线积分?(x+y+1)ds= 42
L10. 设函数z=f(x?y)由方程x+y+z=xyz?1确定，则函数z=f(x?y)在
(0,0)处的梯度gradf(0,0)= (?1,?1) 二．解答题(每题8分，共24 分)
11.设z=f(ex+ey,x+y),且z=f(u,v)有二阶连续偏导数，
?z?z?2z求（1）及； （2）.
?x?y?x?y解 (1)
?z=exf1?+f2?, ?x?z=eyf1?+f2?. ?y?2z??+(ex+ey)f12??+f22?? . (2) =ex+yf11 ?x?y12. 求函数f(x,y)=4(x?y)?x2?y2的极值.
??fx=4?2x=0解 由方程?，得驻点（2,-2），
f=?4?2y=0??y又 A=fxx(2,?2)=?2,B=fxy(2,?2)=0,C=fyy(2,?2)=?2 ，AC?B2=4?0
故函数在（2,-2）处取得极值，又A?0，所以f(2,?2)=8是函数的极大值.
13. 已知区域D为圆域x2+y2?1， （1）计算二重积分I=??(1?x2?y2)dxdy;DD
（2）指出二重积分I=??(1?x2?y2)dxdy的物理意义. 解 （1）由于D：x2+y2?1 ,用极坐标计算。
I=??(1?x2?y2)dxdy=??(1??2)?d?d?
DD =?2?0d??(1??2)?d?=01?2
（2）若f(x,y)=1?x2?y2表示平面薄片在点(x,y)处的密度，则二重积分
I=??(1?x2?y2)dxdy在物理上表示占据平面区域D的平面薄片的质量。
D
三．解答题(每题8分，共24 分)
nn???3??3??14. 判别级数?n??的敛散性，若级数??vn?n???收敛，求limvn.
n→??4??n=1?n=1?4????n?3?解 令un=n??，
?4??un+1n+133?3?=lim=?1 ，所以?n??收敛. 由于?=limn→?un→?n44n=1?4?nnnn??3??3??若级数??vn?n???收敛，则limvn=limn??=0.
n→?n→??4???4?n=1????15. 对于幂级数?[1+(?1)n]xn，（1）求收敛域；（2）求和函数.
n=0???2n?解 (1)?[1+(?1)]x=?x+?(?1)x?或?2x?，收敛域(?1,1)，
n=0n=0?n=0? n=0?2（2） 和函数?[1+(?1)n]xn= 21?xn=0nnnnn???16. 计算I=针方向.
解由已知I=(x?y)dx+(x+y)dy，其中L为椭圆周4x2+y2=1，取逆时22?L4x+y(x?y)dx+(x+y)dy=?L4x2+y2?L(x?y)dx+(x+y)dy，
这时P=x?y,Q=x+y,D是由L所围区域， 由格林公式
I=??(D?Q?P?)dxdy=??(1+1)dxdy ?x?yD
1=2????1=?
2四．综合题 (每题11分，共 22分)
17. 已知y1=e2x及y2=e?x是某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解， （1）写出该微分方程； （2）写出该微分方程的通解； （3）求出该微分方程在初始条件yx=0=1,y?x=0=?1下的特解y=y(x)；
（4）将y=y(x)展开成x的幂级数.
解 （1）由已知，对应的特征方程为(r?2)(r+1)=r2?r?2=0,
故微分方程为y???y??2y=0，
（2）通解y=C1e2x+C2e?x ， （3）将yx=0=1,y?x=0=?1代入y=C1e2x+C2e?x及y?=2C1e2x?C2e?x得
C1=0,C2=1，故所求特解为y=e?x . （4）y=e?x(?1)nn=?xn!n=0?x?(??,+?)
18.已知圆锥面?的方程为z=?x2+y2(?1?z?0)，若?取上侧，计算曲面积分I=??(1?x)dydz+ydzdx+(z+1)dxdy.
?22解 若?取上侧，补充?1:z=?1(Dxy:x+y?1)，取下侧，则由?与?1构
成封闭曲面，取外侧，?是由?与?1所围区域，则
I=?+?1?????(1?x)dydz+ydzdx+(z+1)dxdy
? =???(?1+1+1)dV???(z+1)dxdy
??=???1dV+??(?1+1)dxdy
?Dxy=?1???12?1+0 =
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高等数学考试试题 - 图文
