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室教试考 密 名姓 弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院学重庆大学高等数学1（建筑类）课程试卷
A卷
（A）极限不存在； （B）极限存在但不连续； B卷
（C）连续但不可导； （D）可导. 20 — 20 学年 第 学期
4.若f(x)是g(x)的原函数，则【 B】
开课学院： 数学与统计 课程号：
考试日期：
（A）?f(x)dx?g(x)?C （B）?g(x)dx?f(x)?C
考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟 （C）?g?(x)dx?f(x)?C （D）
?f?(x)dx?g(x)?C
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 5. 函数y?xe?x的图形【A 】
得 分 (A)在区间(??,2)内是向上凸的 (B)在区间(??,2)内是向上凹的
(C)在区间(??,2)内是有凸有凹 (D)在区间(??,2)内是直线段 考试提示 6.下列无穷积分收敛的是【B 】
1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试； (A)
????2x1dx (D) 1 ?0sinxdx (B)?e?0dx (C)???02.考试作弊，留校察看，毕业当年不授学位；请人代考、x???0xdx 二、 填空题（每小题3分，共18分） 替他人考试、两次及以上作弊等，属严重作弊，开除学籍。 1.设f?x??2x?3?1f??m?一、 选择题（每小题3分，共18分） ?x???f?x?对一切x?0成立，则m? . 3x，且2
1.函数f(x)?sinx12.设函数f?x??ax?a?0,a?1?，则1nlim??n2ln?x?2f?1?f?2??f?n??? . 12lnax(x?1)e图形的渐近线有【C 】
3.若(A) 1条 (B)2条 (C) 3条 (D)4条
limex?1?xf(x)1?f(x)x?0x2?0,则limx?0x? . ?12
2.若极限lim(axb14.设x?1x?1?lnx)?2,则常数【B 】
?a0xe2xdx?14,则a? 12
(A) a?1,b?1 (B) a?1,b??1
??(C) a??1,b?1 (D) a??1,b??1 5.广义积分
?dx1xx2?1?
?2 ?16.设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)?(e100x?100)，则f?(0)? . ?99! 3.设f(x)??xsin?x2 ,x?0，则f(x)在x?0处【 C】
? ?0 ,x?0
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命题人： 组题人： 审题人： 命题时间： 教务处制
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三、计算题（每小题7分，共28分）
4.设f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx,且f(x)?x,x??0,??计算
?2?1.设函数y?f(x)由方程cos(xy)?lny?x?1确定，求limn?f()?1?.
?3?f(x)dx.
n???n解：limn??f(2?2[f(x)?f(0)]n???n)?1???limx?0x?2f?(0)
当x?0时，y?1
方程cos(xy)?lny?x?1两边对x求导：
?sin(xy)(y?xy?)?y?y?1?0?y?(0)?1
故limn??n???f(2n)?1????2f?(0)?2 2.设y?xcos2x,求y(n)(n?2).
解:y?xcos2x?x2?12xcos2x
y(n)?1[C0)?C1?1)2nx(cos2x)(nn(cos2x)(n]
?12x?2ncos(2x?n?2)?12?n2n?1cos(2x?(n?1)?2) ?x?2n?1cos(2x?n?(n?1)?2)?n2n?2cos(2x?2)
3. 计算不定积分
?11?exdx
解 令 1?ex?t,x?ln(t2?1),dx?2tt2?1dt, 故 1x ?1?exdx??2dtt?11?e?1t2?1?lnt?1?C?ln1?ex?1?C
??分析：因为只有?0,??内f(x)的表达式是已知的，因此，需用积分对区间的可加性，
或变量代换将??,3??变到逐步变到?0,??内。
解
?3?)dx??3??f(x??f(x??)?sinx?dx??3??f(x??)dx
令t?x???2??2??2?0f(t)dt??0f(t)dt???f(t)dt??0tdt????f(t??)?sint?dt
=
?2?2??2?2?f(t??)dt 令u?t???22?2???0f(u)du??2?2
四、解答题（每小题7分，共14分） 1.已知f(x)连续，且limf(x)x?2，设?(x)??1x?00f(xt)dt，求??(x)并讨论??(x)的连
续性.
解：由条件limf(x)x?0x?2知f(0)?0，从而?(0)??10f(0)dt?0 ?(x)??11x0f(xt)dt?x?0f(t)dt
当x?0时?(x)可导，且??(x)??1xf(x)x2?0f(t)dt?x
??(x)在x?0时连续。又
lim??(x)??lim1xx?0x?0x2?0f(t)dt?limf(x)x?0x?1
??(0)?lim?(x)??(0)x?0x?lim1xx?0x2?0f(t)dt?1
??(x)在x?0处也连续。
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Vx,Vy分别是D2.设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，
绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。 解：Vx??133(2) 证明在[?a,a]至少存在一点?,使af??(?)?3?f(x)dx.
?aa解(1)对任意x?[?a,a]
?a013a3?56?xdx?a3，Vy?2??x?x3dx?a7
05723f(x)?f(0)?f?(0)x?af??(?)2f??(?)2?x?f(0)x?x,?介于0与x之间.
22a36?73?5由Vy?10Vx，即a?a3，解得a?77.
75证明(2)
??af(x)dx?f?(0)?xdx??a1a1a22????f(?)xdx?f(?)xdx ???a?a22
五、证明题（每小题7分，共14分） 1.证明方程4arctanx?x?因
f??(x)在[?a,a]上连续,由最值定理, m?f??(x)?M,x?[?a,a]
111m?f??(?)?M?mx2?f??(?)x2?Mx2?
2224??3?0恰有两个实根。 34(3?x)(3?x)4??1??3，则f?(x)? 1?x21?x23解：令f(x)?4arctanx?x?131a1331a3a22am??f??(?)xdx?aM?m?3??f??(?)xdx?M?m?3?f(x)dx?M32?a3a2?aa?a由介值定理知, 在[?a,a]至少存在一点?,使af??(?)?3?f(x)dx.
?a3a令f?(x)?0?x1??3,x2?3 由单调性的判别法知
f(x)在(??,?3)上单调减少，在(?3,3)上单调增加，在(3,??)上单调减少。因为f(?3)?0为f(x)在(??,3)上最小值，所以x??3为f(x)在(??,3)上唯一的零点。 又因为f(3)?2(
六、应用题（共8分）
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10 000（万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且这两种产品的边际成本分别为20?4??3)?0，且limf(x)???
x???3x（万元/件）与6?y（万元/件）。 2（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）；
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？ （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 解 （Ⅰ）
所以由连续函数的介值定理知f(x)在(3,??)上存在唯一零点。 综上所述，f(x)在(??,??)恰有两个零点，即原方程恰有两个实根。 2.设
?Cx?C?20?,?6?y,C(0,0)?10000 ?x2?yf(x)在[?a,a](a?0)上具有二阶连续导数,f(0)?0,
从而有C(x,y)?10000?20x?(1) 写出
f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
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121x?6y?y2 42__________________________________________________
（Ⅱ）由题设知x?y?50，此时的成本函数为
f(x)?C(x,50?x)?10000?14x2?6(50?x)?12(50?x)2,0?x?50
求导得f?(x)?32x?36。令f?(x)?0解得唯一驻点x?24。
又f??(24)?32?0，所以x?24是成本函数C(x,50?x)的最小值点。
故当甲为24件，乙为26件时，总成本达到最小，最小成本为C(24,26)?11118万元。 （Ⅲ）
?C?x?(20?xxy??24262)?32，其经济意义为：当生产乙产品26件时，生产第
xy??242625件甲产品需成本32万元。
沥青混凝土路面
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施 工 方 案
二〇一五年十一月
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最新高等数学1模拟试卷3答案
