课程设计说明书 NO.1
应用MATLAB实现连续信号的抽样及重构仿真 一、课程设计的目的 1.熟悉抽样定理、信号的抽样与重构过程； 2.通过实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象； 3.掌握抽样前后信号的频谱的变化，加深对抽样定理的理解； 4.掌握抽样频率的确定方法。 二、课程设计的原理 1.抽样定理 连续信号f?t?被抽样后，其部分信息已经丢失，抽样信号fs?t?只是很小的一部分。现在的问题是能否从抽样信号fs?t?中恢复出原连续信号f?t?。抽样定理从理论上回答了这个问题。 抽样定理：一个频谱有限的信号f?t?，如果其频谱只占据??m~?m的范围，则信号f?t?可以用等间隔的抽样值来唯一表示，而抽样间隔Ts必须不大于1（其中2fm?m?2?fm）或者说最低抽样频率为2fm。 该定理表明若要求信号抽样后不丢失信息，必须满足两个条件： 一是f?t?必须是带限信号，即f?t?的频谱在区间(??m~?m)为有限值，其频谱函数在?m??s各处为零； 二是抽样间隔不能过大，必须满足Ts不大于1，也就是抽样频率不能过低，即?s2fm必须不小于2?m。（抽样频率要足够大，抽样足够多才能恢复原信号。） 可分为以下三种情况： 沈 阳 大 学
1 / 14
课程设计说明书 NO.2
(a)临界抽样频率，即?s?2?m时，抽样信号不发生混叠； (b)过抽样频率，即?s?2?m时，抽样信号不发生混叠； (c)欠抽样频率，即?s?2?m时，抽样信号发生混叠。 2.周期抽样 抽样过程也就是把一个连续时间函数的信号，变成具有一定时间间隔才有函数值的离散时间信号的过程。如果每次开闭的时间间隔Ts都一样，则称为周期抽样或均匀抽样，抽样周期等于Ts。其倒数表示在单位时间内所抽取的样点数，称为抽样频率，用fs表示。 如图1所示，给出了信号抽样原理图 图1 信号抽样原理图 由图1可见，fs?t??f?t???Ts?t?，其中，冲激抽样信号?Ts?t?的表达式为： ?T?t??sn??????t?nT??f?t? sss? (1) 其傅立叶变换为?sn????????n??，其中?s??2?。设F?j??，Fs?j??分别为f?t?，Tsfs?t?的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得 ?11Fs?j???F?j????s?????n?s??2?Tsn???n????F?j???n???s? (2) 若设f?t?是带限信号，带宽为?m，f?t?经过抽样后的频谱Fs?j??就是将F?j??在频率轴上搬移至0,??s,??2s,?,??ns,?处（幅度为原频谱的1Ts倍）。因此，当?s?2?m时，频谱不发生混叠；而当?s?2?m时，频谱发生混叠。 沈 阳 大 学
2 / 14
课程设计说明书 NO.3
一个理想抽样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列?T?t?的幅值调制器，即理想抽样器的输出信号e??t?，是连续输入信号e?t?调制在载波?T?t?上的结果，如图2所示。 图2 信号的抽样 用数学表达式描述上述调制过程，则有 e??t??e?t???T?t? (3) 理想单位脉冲序列?T?t?可以表示为 ?T?t?????t?nT? (4) n?0?其中?(t?nT)是出现在时刻t?nT，强度为1的单位脉冲。由于e(t)的 数值仅在抽样瞬时才有意义，同时，假设 e?t??0,?t?0 (5) 所以e??t?又可表示为 e?t???e?nT????t?nT??n?0? (6) 3.连续时间信号的重建 重建即从抽样信号恢复原信号。在满足抽样定理的上述两个条件下，为了从频谱Fs?j??中无失真的选出F?j??，可用一截止频率?m??c??s2的理想低通滤波器。其频??Ts率特性为H?j??????0???c???c。滤波器与Fs(j?)相乘，得到的频谱即为原信号的频谱F?j??。显然，F?j???Fs?j???H?j??，与之对应的时域表达式为 f?t??h?t??fs?t? (7) 阳 大 学
沈
3 / 14
课程设计说明书 NO.4
fs?t??f(t)???t?nTs???f?nTs???t?nTS? (8) n???n?????h?t??F?1?H?j????Ts?cSa??ct? (9) ?将h?t?及fs?t?代入式（7）得 ?T?f?t??fs?t?*TscSa??ct??sc??n????f?nT?Sa???t?nT?? (10) scs?式(10)即为用f?nTs?求解f?t?的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数Sa??ct?在此起着内插函数的作用。 例：设f?t??Sa?t??sint，其F?j??为： t???F?j??????0??1??1 (11) 即f?t?的带宽为?m?1，为了由f(t)的抽样信号fs?t?不失真地重构f?t?，由时域抽样定理知抽样间隔Ts?Sinc?t?????，取Ts?0.7?（过抽样）。利用MATLAB的抽样函数?msin???t?来表示Sa?t?，有Sa?t??Sinc?t/??。据此可知： ??t?T?f?t??fs?t?*TscSa??ct??sc??n????????f?nTs?Sinc?c?t?nTs?? (12) ???通过以上分析，得到如下的时域抽样定理：一个带宽为?m的带限信号，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts??/?m, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。 根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为: f?t??IFT?Fs?j???*IFT?H?j????fs?t?*h?t?w??????f?nTs???t?nTs???TscSa??tc??????Tswc???f?nTs??Sa??c?t?nTs?? (13) ?n??? 沈 阳 大 学
4 / 14
课程设计说明书 NO.5
式中的抽样函数Sa??ct?起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为抽样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数sinc?t??sin???t?来表示Sa?t?，有Sa?t??sinc?t/??，??tSa??ct??sinc??ct/??，于是，信号重构的内插公式也可表达式： ?????f?t????f?nTs???t?nTs????Tsc?n??????Ts?c???c?????fnTsinct?nT?ss??????n????t?? (14) 三、课程设计内容及结果分析 1.Sa?t?临界抽样及重构 当抽样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即?s?2?m时，称为临界抽样. 修改门信号宽度、抽样周期等参数，重新运行程序，可以观察得到的抽样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。 （1）实现程序代码 wm=1; wc=wm; Ts=pi/wm;%决定抽样的频率。 ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts f=2*sinc(nTs/pi);%决定重构图的幅值。 Dt=0.0025;t=-15:Dt:15;%重构图抽样间隔及横坐标的宽度。 fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-15:0.25:15;%抽样图的抽样间隔及横坐标的宽度。 f1=2*sinc(t1/pi);%决定抽样图的幅值。
沈 阳 大 学
5 / 14
小聪,信号与系统课程设计终结者
