第5炼 函数的对称性与周期性
一、基础知识
(一)函数的对称性
1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称
2、轴对称的等价描述:
(1)f?a?x??f?a?x??f?x?关于x?a轴对称(当a?0时,恰好就是偶函数) (2)f?a?x??f?b?x??f?x?关于x?a?b轴对称 2 在已知对称轴的情况下,构造形如f?a?x??f?b?x?的等式只需注意两点,一是等式两侧f前面的符号相同,且括号内x前面的符号相反;二是a,b的取值保证x?a?b为所给2对称轴即可。例如:f?x?关于x?1轴对称?f?x??f?2?x?,或得到
f?3?x??f??1?x?均可,只是在求函数值方面,一侧是f?x?更为方便
(3)f?x?a?是偶函数,则f?x?a??f??x?a?,进而可得到:f?x?关于x?a轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在f?x?a?中,x仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x取相反数时,函数值相等,即f?x?a??f??x?a?,要与以下的命题区分:
若f?x?是偶函数,则f?x?a??f????x?a???:f?x?是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有f?x?a??f????x?a???
② 本结论也可通过图像变换来理解,f?x?a?是偶函数,则f?x?a?关于x?0轴对称,而f?x?可视为f?x?a?平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以f?x?关于x?a对称。
3、中心对称的等价描述:
(1)f?a?x???f?a?x??f?x?关于?a,0?轴对称(当a?0时,恰好就是奇函数) (2)f?a?x???f?b?x??f?x?关于??a?b?,0?轴对称 2?? 在已知对称中心的情况下,构造形如f?a?x???f?b?x?的等式同样需注意两点,一是
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等式两侧f和x前面的符号均相反;二是a,b的取值保证x?a?b为所给对称中心即可。例2如:f?x?关于??1,0?中心对称?f?x???f??2?x?,或得到f?3?x???f??5?x?均可,同样在求函数值方面,一侧是f?x?更为方便
(3)f?x?a?是奇函数,则f?x?a???f??x?a?,进而可得到:f?x?关于?a,0?轴对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在f?x?a?中,x仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的x取相反数时,函数值相反,即f?x?a??f??x?a?,要与以下的命题区分:
若f?x?是奇函数,则f?x?a???f????x?a???:f?x?是奇函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有f?x?a???f????x?a???
② 本结论也可通过图像变换来理解,f?x?a?是奇函数,则f?x?a?关于?0,0?中心对称,而f?x?可视为f?x?a?平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以f?x?关于?a,0?对称。
4、对称性的作用:最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需要分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要体现在以下几点: (1)可利用对称性求得某些点的函数值
(2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像 (3)极值点关于对称轴(对称中心)对称
(4)在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 (二)函数的周期性
1、定义:设f?x?的定义域为D,若对?x?D,存在一个非零常数T,有f?x?T??f?x?,则称函数f?x?是一个周期函数,称T为f?x?的一个周期 2、周期性的理解:可理解为间隔为T的自变量函数值相等
3、若f?x?是一个周期函数,则f?x?T??f?x?,那么f?x?2T??f?x?T??f?x?,即2T也是f?x?的一个周期,进而可得:kT?k?Z?也是f?x?的一个周期
4、最小正周期:正由第3条所说,kT?k?Z?也是f?x?的一个周期,所以在某些周期函数中,往往寻找周期中最小的正数,即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数f?x??C
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5、函数周期性的判定:
(1)f?x?a??f?x?b?:可得f?x?为周期函数,其周期T?b?a (2)f?x?a???f?x??f?x?的周期T?2a
分析:直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式:f?x?2a???f?x?a? 所以有:f?x?2a???f?x?a????f?x??f?x?,即周期T?2a
注:遇到此类问题,如果一个等式难以推断周期,那么可考虑等间距再列一个等式,进而通过两个等式看能否得出周期 (3)f?x?a????1?f?x?的周期T?2a f?x?分析:f?x?2a??1?f?x?a?1?f?x? 1f?x?(4)f?x??f?x?a??k(k为常数)?f?x?的周期T?2a
分析:f?x??f?x?a??k,f?x?a??f?x?2a??k,两式相减可得:f?x?2a??f?x? (5)f?x??f?x?a??k(k为常数)?f?x?的周期T?2a
(6)双对称出周期:若一个函数f?x?存在两个对称关系,则f?x?是一个周期函数,具体情况如下:(假设b?a)
① 若f?x?的图像关于x?a,x?b轴对称,则f?x?是周期函数,周期T?2?b?a? 分析:f?x?关于x?a轴对称?f??x??f?2a?x? f?x?关于x?b轴对称?f??x??f?2b?x?
?f?2a?x??f?2b?x? ?f?x?的周期为T?2b?2a?2?b?a?
② 若f?x?的图像关于?a,0?,?b,0?中心对称,则f?x?是周期函数,周期T?2?b?a? ③ 若f?x?的图像关于x?a轴对称,且关于?b,0?中心对称,则f?x?是周期函数,周期
T?4?b?a?
7、函数周期性的作用:简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期的性质,则得到整个函数的性质。
(1)函数值:可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值
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高考数学复习专题函数的对称性与周期性
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