高考数学复习专题函数的对称性与周期性

第5炼 函数的对称性与周期性

一、基础知识

（一）函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）f?a?x??f?a?x??f?x?关于x?a轴对称（当a?0时，恰好就是偶函数） （2）f?a?x??f?b?x??f?x?关于x?a?b轴对称 2 在已知对称轴的情况下，构造形如f?a?x??f?b?x?的等式只需注意两点，一是等式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是a,b的取值保证x?a?b为所给2对称轴即可。例如：f?x?关于x?1轴对称?f?x??f?2?x?，或得到

f?3?x??f??1?x?均可，只是在求函数值方面，一侧是f?x?更为方便

（3）f?x?a?是偶函数，则f?x?a??f??x?a?，进而可得到：f?x?关于x?a轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f?x?a?中，x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即f?x?a??f??x?a?，要与以下的命题区分：

若f?x?是偶函数，则f?x?a??f????x?a???：f?x?是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f?x?a??f????x?a???

② 本结论也可通过图像变换来理解，f?x?a?是偶函数，则f?x?a?关于x?0轴对称，而f?x?可视为f?x?a?平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以f?x?关于x?a对称。

3、中心对称的等价描述：

（1）f?a?x???f?a?x??f?x?关于?a,0?轴对称（当a?0时，恰好就是奇函数） （2）f?a?x???f?b?x??f?x?关于??a?b?,0?轴对称 2?? 在已知对称中心的情况下，构造形如f?a?x???f?b?x?的等式同样需注意两点，一是

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等式两侧f和x前面的符号均相反；二是a,b的取值保证x?a?b为所给对称中心即可。例2如：f?x?关于??1,0?中心对称?f?x???f??2?x?，或得到f?3?x???f??5?x?均可，同样在求函数值方面，一侧是f?x?更为方便

（3）f?x?a?是奇函数，则f?x?a???f??x?a?，进而可得到：f?x?关于?a,0?轴对称。

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在f?x?a?中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即f?x?a??f??x?a?，要与以下的命题区分：

若f?x?是奇函数，则f?x?a???f????x?a???：f?x?是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有f?x?a???f????x?a???

② 本结论也可通过图像变换来理解，f?x?a?是奇函数，则f?x?a?关于?0,0?中心对称，而f?x?可视为f?x?a?平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以f?x?关于?a,0?对称。

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性

1、定义：设f?x?的定义域为D，若对?x?D，存在一个非零常数T，有f?x?T??f?x?，则称函数f?x?是一个周期函数，称T为f?x?的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等

3、若f?x?是一个周期函数，则f?x?T??f?x?，那么f?x?2T??f?x?T??f?x?，即2T也是f?x?的一个周期，进而可得：kT?k?Z?也是f?x?的一个周期

4、最小正周期：正由第3条所说，kT?k?Z?也是f?x?的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数f?x??C

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5、函数周期性的判定：

（1）f?x?a??f?x?b?：可得f?x?为周期函数，其周期T?b?a （2）f?x?a???f?x??f?x?的周期T?2a

分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：f?x?2a???f?x?a? 所以有：f?x?2a???f?x?a????f?x??f?x?，即周期T?2a

注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 （3）f?x?a????1?f?x?的周期T?2a f?x?分析：f?x?2a??1?f?x?a?1?f?x? 1f?x?（4）f?x??f?x?a??k（k为常数）?f?x?的周期T?2a

分析：f?x??f?x?a??k,f?x?a??f?x?2a??k，两式相减可得：f?x?2a??f?x? （5）f?x??f?x?a??k（k为常数）?f?x?的周期T?2a

（6）双对称出周期：若一个函数f?x?存在两个对称关系，则f?x?是一个周期函数，具体情况如下：（假设b?a）

① 若f?x?的图像关于x?a,x?b轴对称，则f?x?是周期函数，周期T?2?b?a? 分析：f?x?关于x?a轴对称?f??x??f?2a?x? f?x?关于x?b轴对称?f??x??f?2b?x?

?f?2a?x??f?2b?x? ?f?x?的周期为T?2b?2a?2?b?a?

② 若f?x?的图像关于?a,0?,?b,0?中心对称，则f?x?是周期函数，周期T?2?b?a? ③ 若f?x?的图像关于x?a轴对称，且关于?b,0?中心对称，则f?x?是周期函数，周期

T?4?b?a?

7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。

（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值

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