20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)
第 6 页 共 11 页(第20题)
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组 一、选择题 1.D
解析:命题②有反例,如图中平面??∩平面??=直线n, l??,m??,
且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面???不垂直平面 ?,??????????????????(第1题) 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D
解析:异面直线AD与CB1角为45°. 3.D
解析:在①、④的条件下,m,n的位置关系不确定. 4.D
解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D. 5.B
解析:学会用长方体模型分析问题,A1A有无数点在平面ABCD外,但AA1与平面ABCD相交,①不正确;A1B1∥平面ABCD,显然A1B1不平行于BD,②不正确;A1B1∥AB,A1B1∥平面ABCD,但AB?平面ABCD内,③不正确;l与平面α平行,则l与???无公共点,l与平面???内的所有直线
都没有公共点,④正确,应选B. (第5题)
6.B
解析:设平面 ??过l1,且 l2∥?,则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ??,??与 ??的交线l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条,即 l3 有唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.
7.C
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解析:当三棱锥D-ABC体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.
8.D
解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.
9.B
解析:因为①②④正确,故选B. 10.A
解析:异面直线a,b所成的角为60°,直线c⊥a,过空间任一点 P,作直线 a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若a’,b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则 b’ 与 c’ 所成的角的范围为(30°,90°],所以直线b与c所成角的范围为[30°,90°] .
二、填空题 11.
132S1S2S3.
解析:设三条侧棱长为 a,b,c. 则 ∴
1218ab=S1,
12bc=S2,
12ca=S3 三式相乘:
a2 b2 c2=S1S2S3,
∴ abc=22S1S2S3. ∵ 三侧棱两两垂直, ∴ V=abc·
3112=
132S1S2S3.
12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分.
解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心;
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点;
(5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60°.
解析:将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为60°.
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14.[30°,90°].
解析:直线l与平面???所成的30°的角为m与l所成角的最小值,当m在???内适当旋转就可以得到l⊥m,即m与l所成角的的最大值为90°.
15.
63.
134解析:作等积变换:?3×(d1+d2+d3+d4)=?3134·h,而h=
63.
16.60°或120°.
解析:不妨固定AB,则AC有两种可能. 三、解答题
17.证明:(1)取BC中点O,连结AO,DO. ∵△ABC,△BCD都是边长为4的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且AO∩DO=O, ∴BC⊥平面AOD.又AD?平面AOD,
∴BC⊥AD. (第17题)
解:(2)由(1)知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角,设∠AOD=?,则过点D作DE⊥AD,垂足为E.
∵BC⊥平面ADO,且BC?平面ABC,
∴平面ADO⊥平面ABC.又平面ADO∩平面ABC=AO, ∴DE⊥平面ABC.
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离,即DE=3. 又DO=
32BD=23,
DEDO在Rt△DEO中,sin?==
32,
32故二面角A-BC-D的正弦值为.
(3)当 ?=90°时,四面体ABCD的体积最大.
18.证明:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.∴△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴?DEC?90?,即DE⊥EC.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面D1DCC1,又DE?平面D1DCC1,
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∴BC⊥DE.又EC?BC?C,∴DE⊥平面EBC.∵平面DEB过DE,∴平面DEB⊥平面EBC.
(2)解:如图,过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵面ABCD⊥面
D1DCC1,∴EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作
OF⊥DB于F,连结EF,∴EF⊥BD.∠EFO为二面角
E-DB-C的平面角.利用平面几何知识可得OF=
又OE=1,所以,tan?EFO=5.
15, (第18题)
19*.解:(1)直角梯形ABCD的面积是M
1底面
=(BC+AD)?AB=
211+212?1=,
43∴四棱锥S—ABCD的体积是V=·SA·M
3底面
=×1×
3134=
14.
(2)如图,延长BA,CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线. 又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB 上的射影,
∴CS⊥SE,∠BSC是所求二面角的平面角. ∵SB=SA2+AB2=2,BC=1,BC⊥SB, ∴tan∠BSC=
BCSB=22,
22 .
(第19题)
即所求二面角的正切值为
20*.解:如图,设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10,A1A和面BB1C1C的距离为6,在AA1上取一点P作截面PQR,使AA1⊥截面PQR,AA1∥CC1,∴截面PQR⊥侧面BB1C1C,过P作PO⊥QR于O,则PO⊥侧面BB1C1C,且
(第20题)
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PO=6. ∴V斜=S△PQR·AA1=
1·QR·PO·AA1
2=1·PO·QR·BB21 =
1×10×6
2=30.
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高中数学必修2第二章(免费)
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