1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称
命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确
地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“? ”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量 x 的语句用 p(x)，(qx )，(rx )，… 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示，那么全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用
符号简记为? x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“? ”表 示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”， 思考：(1)“一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有实数解”是特称命题还是全称命题？请改
可用符号简记为“? x0∈M，p(x0)”． 写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0 对任意实数 x 恒成立”是特称命题还是全
称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在 x0∈R，使 ax2＋2x0＋1＝0”
0
(2)是全称命题，可改写成：“? x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题 p：? x∈M，p(x)，它的否定 p：? x0∈M， p(x0)； 特称命题 p：? x0∈M，p(x0)，它的否定 p：? x∈M， p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题． (2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．
( )
( )
(3)命题：? x∈R，x2－3x＋3>0 的否定是? x R，x2－3x＋3≤0.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．命题 p：“存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 有实数根”，则“ p”形式的命题是
(
)
A．存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 无实根 B．不存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 无实根
C．对任意的实数 m，方程 x2＋mx＋1＝0 无实根
D．至多有一个实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 有实根
[答案] C
3．下列四个命题中的真命题为(
) 【导学号：97792031】
A．? x0∈Z,1<4x0<3 B．? x0∈Z,5x0＋1＝0 C．? x∈R，x2－1＝0
D．? x∈R，x2＋x＋2>0
2
?
1? 7
2D [当 x∈R 时，x ＋x＋2＝?x
? 2? 4
＋ ? ＋ >0，故选 D.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
全称命题和特称命题的概念及真假判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)? x∈N,2x＋1 是奇数；
1
x＝0；
(2)存在一个 0∈R，使x － 1
0(3)能被 5 整除的整数末位数是 0；
(4)有一个角 α ，使 sin α >1
[解] (1)是全称命题，因为? x∈N,2x＋1 都是奇数，所以该命题是真命题． 1
x＝0 成立，所以该命题是假命题．
(2)是特称命题．因为不存在 0∈R，使 x0－1 (3)是全称命题．因为 25 能被 5 整除，但末位数不是 0，因此该命题是假命题．
(4)是特称命题，因为? α ∈R，sin α ∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
[规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词；
(2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
p x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x) (1)要判定全称命题“? x∈M， (
都成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命
题．
(2)要判定特称命题“? x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使
p(x0)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个特称命题就是假
命题．
[跟踪训练]
1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(
)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数 x，使 x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
1
D．存在一个负数 x，使 >2
x
B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中 x＝0 时，x2＝0，所以 B 既
是特称命题又是真命题；C 中因为 3＋(－ 3)＝0，所以 C 是假命题；D 中对于任一个负数
1
x，都有 <0，所以 D 是假命题．]
x
(2)下列命题中，真命题是(
)
【导学号：97792032】
π ? ?
0，A．? x∈? ?，sin x＋
2 ?
cos x≥2? B．? x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C．? x∈R，x2＋x＝－1
π ??
，xD．∈ ? ? 2π ?，tan x>sin x ? ?
B [(1)对于选项 A，
π ? ?
sin x＋cos x＝ 2sin?x＋ ?≤ 2，∴此命题不成立；
? 4 ?
对于选项 B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当 x>3 时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；
2
1? 3
? 2? 4 x＝－1 对任意实数 x 都不成立，∴此命
2
?
2
x ＋x＋1＝?x＋ ? ＋ >0，对于选项 C，∴x ＋
题不成立；
π ??
对于选项 D，当 x∈? ，π ?时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选 B.]
? 2 ?
第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词全称量词存在量词含有一个量词的命题的否定学案新人教A版选修
