核心素养提升(十)
1．(必修3 P145复习参考题A组T5)甲袋中有1只白球、2只红球、3只黑球；乙袋中有2只白球、3只红球、1只黑球．现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率．
2．(选修2-3 P59习题2.2 B组T2)学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装3个白球、
2个黑球，乙箱子里装2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，若它们都是白球则获奖．有人认为，两个箱子里装的白球比黑球多，所以获奖的概率大于0.5.你认为呢？
1．【解】 因为两球颜色相同包含：一是从两袋中都取得白球，二是从两袋中都取得黑球，三是从两袋都取得红球，这三种情况对应的三个事件是互斥的，在两个口袋中都取得球12233111是相互独立事件，所以两球颜色相同的概率P＝×＋×＋×＝.
66666636
2．【解】 我认为获奖的概率小于0.5，理由如下：
3
甲箱子里有3个白球、2个黑球，从甲箱中摸出一个白球的概率为，乙箱子里有2个白
521
球、2个黑球，从乙箱中摸出一个白球的概率为＝，
42
313
故从这两个箱子中分别摸一个球，它们都是白球的概率P＝×＝＜0.5，故获奖的概
5210率小于0.5.
(1)本题所考查的知识点：①古典概型的概率公式；②互斥事件；③独立事件及利用概率判断问题．
(2)以摸球为背景考查古典概型问题，是高考中最常考的概率问题之一，求解此类问题必须注意有放回和无放回之间的差异，对于有放回地抽取，每次抽样之后样本的个数不变，并且同一件物品可能被抽取两次，而对于无放回地抽取，每次抽取之后样本的数目减少．
1．已知袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球的编号为1，2，3，4，5，3个蓝球的编号为1，2，3，现从袋中任意取出3个小球．
(1)求取出的3个小球中，有小球编号为3的概率；
(2)记X为取出的3个小球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．
221C12C6＋C2C6
【解】 (1)记事件A为“取出的3个小球中，有小球编号为3”，则P(A)＝C38
9
＝. 14
9
故取出的3个小球中，有小球编号为3的概率为.
14(2)由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5.
1122212C2C12C2＋C2C22C4＋C2C441162C1151C6
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝3＝，33
C85614C8567C8562C131C721
P(X＝5)＝3＝＝.
C8568
所以X的分布列为
X P 2 1 143 2 74 15 565 3 812153221
所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
14756856
2．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到的可能性是相等
的．
(1)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
(2)从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”，某人连续摸了3次(每次操作完成后将球放回)，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
C314
【解】 (1)由题意知从袋子中任意摸出3个球，摸出的球均为白球的概率是P1＝3＝.
C1030
21
C36＋C6C42
(2)易知一次“摸球成功”的概率P＝＝.
C3310
2
3，?，分布列为 随机变量ξ服从二项分布B??3?
ξ P 2
E(ξ)＝3×＝2.
3
0 1 271 6 272 12 273 8 273．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合
适的设计，并说明理由．
【解】 (1)设顾客所获的奖励额为X.
1C111C3
①依题意，得P(X＝60)＝2＝，
C42
1
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
2②依题意，得X的所有可能取值为20，60. 1C213
P(X＝60)＝，P(X＝20)＝2＝，
2C42即X的分布列为
X P 20 1 260 1 211
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×＋60×＝40.
22
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1 P 20 1 660 2 3100 1 6121
X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
636
1211 600
X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
6363
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2 P
121
X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
636
121400
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
6363
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
4．(卓越联盟自主招生)一袋中有a个白球和b个黑球，从中任取一球，如果取出白球，
则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中，在重复n次这样的操作后，记袋中白球个数为Xn.
(1)求X1的数学期望E(X1)；
(2)设P(Xn＝a＋k)＝pk，求P(Xn＋1＝a＋k)，k＝0，1，…，b.
a
【解】 (1)n＝1时，袋中白球的个数可能为a(即取出的是白球)，概率为；也可能a＋ba2＋ab＋bbab
为a＋1(即取出的是黑球)，概率为，故E(X1)＝a·＋(a＋1)＝.
a＋ba＋ba＋ba＋b
a
(2)当k＝0时，P(Xn＋1＝a＋0)＝p0·.
a＋b
k≥1时，第(n＋1)次操作后袋中有(a＋k)个白球的可能性有两种：
①第n次操作后袋中有(a＋k)个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变，即(a＋b)a＋k
个(此时黑球有(b－k)个)，第(n＋1)次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为pk·；
a＋b
②第n次操作后袋中有(a＋k－1)个白球，第(n＋1)次取出来的是黑球，由于球的总数保持不变，为(a＋b)个，故此时黑球的个数为b－k＋1，这种情况发生的概率为pk－1·
b－k＋1a＋b
40 1 660 2 380 1 6(k≥1)．
b－k＋1
故P(Xn＋1＝a＋k)＝pk·＋pk－1·(k≥1)．
a＋b5(a＋b)
求解此类问题的关键：①会判断，先判断事件的类型，再利用互斥事件的概率公式、独立事件概率的公式等求解概率；②会计算，要求随机变量X的期望，需先求出X的所有可能取值，然后求出随机变量X取每个值时的概率，再利用随机变量的数学期望的定义进行计算；③准确把握相关量的含义，即期望反映的是平均水平，而方差反映的是离散程度．
a＋k
高三一轮复习2021版 第十章 核心素养提升(十)
