让学生学会学习
第 9 课时:§2.4 向量的数量积(一)
【三维目标】:
一、知识与技能
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义; 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系;
3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件
3.掌握数量积的运算性质,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识(“做功”)得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义;从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积;为了帮助学生理解和巩固相应的知识,教材设置了例题,通过讲解例题,培养学生逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习,使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系;让学生进一步领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积,有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 【教学重点与难点】:
重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义; 难点:向量数量积的含义、数量积的运算性质; 【学法与教学用具】:
1. 学法:
(1)自主性学习+探究式学习法:
(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题
【提出问题】:向量的运算有向量的加法、减法、数乘,那么向量与向量能否“相乘” 呢? 二、研探新知
1.平面向量数量积的物理背景及其含义
物理学中,物体所做的功的计算方法:
F W?|F||S|(其中?是F与S的夹角)
2.向量夹角
????α S rrr?r?????roo已知两个向量a和b,作OA=a,OB=b,则?AOB??(0???180)叫做向量ar与b的夹角。
让学生学会学习
rr当??0时,a与b同向;
orr当??180时,a与b反向;
orrrrrro当??90时,a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作a?b.
o3.向量数量积的定义:
rrrrrr已知两个非零向量a和b,它们的夹角为?,则数量|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积rrrrrr(或内积),记作a?b,即a?b?|a|?|b|?cos?.
【说明】:①实数与向量的积与向量数量积的本质区别:两个向量的数量积是一个数量,不是向量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关,符号由cos?的符号所决定;实数与向量的积是一个向量;
rrrrrr②两个向量的数量积称为内积,写成a?b;今后要学到两个向量的外积a×b,而a?b是
两个向量的数量的积,书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
③规定,零向量与任一向量的数量积是0;
rrrrr④在实数中,若a?0,且a?b?0,则b?0;但是在数量积中,若a?0,且a?b=0,
rr不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0;
rrrrrra=c; ⑤已知实数a、b、c(b?0),则a?b?b?c?a?c.但是a?b=b·crrrrr⑥在实数中,有(a?b)?c?a?(b?c),但是(a?b)·c ? a·(b?c) rr 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而rr一般a与c不共线.
4.数量积的性质:
rrrrr设a、设a、b都是非零向量,?是a与b的夹角,则
rrrra?b①cos??rr;(|a||b|≠0)
|a||b|rrrrrrrrrrrr②当a与b同向时,a?b?|a||b|;当a与b反向时,a?b??|a||b|;
rrr2rrr特别地:a?a?|a|或|a|?a?a;
rrrr③|a?b|?|a||b|; rrrr④a?b?a?b?0;
rrrrrrr⑤若e是与b方向相同的单位向量,则e?a?a?e?|a|cos?.
5.数量积的几何意义 (1)投影的概念:
rr如图,OA=a,过点B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1?|b|cos?.
???
BrbBO ?arrbC
BB1 AB1 O r?arb A?O( B1) A让学生学会学习
rrrrrr我们把|b|cos?(│a│cos?)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影,
当?为锐角时射影为正值;
当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为0;
r 当? = 0?时射影为|b|; r?|b| 当?= 180?时射影为
(2)提出问题:数量积的几何意义是什么?
rrrrrrr期望学生回答:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘
积。
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1.判断正误,并简要说明理由
rrrrr?rrrr?????①a·0=0; ②0·a=0; ③0-AB=BA; ④a?b=|a||b|;
rrrrrrrrrr⑤若a?0,则对任一非零b,有a?b?0; ⑥a?b=0,则a与b至少有一个为0;
rrrrrrrr⑦对任意向量a、b、c都有(a?b)·c=a·(b?c); rrr2r2⑧a与b是两个单位向量,则a=b
rrrr例2(教材P77例1)已知向量a与向量b的夹角为?,|a|=2,|b|=3,分别在下列条
rrrrrr0件下求a?b:(1)??135;(2)a∥b;(3)a⊥b
r?rrrrrr??r???r例3 已知正?ABC的边长为2,设BC=a,CA=b,AB=c,求a?b?b?c?c?a.
rrrrrroA 解:如图,a与b、b与c、a与c夹角为120,
???rrrrrrooo ∴原式?|a|?|b|?cos120?|b|?|c|?cos120?|a|?|c|?cos120
?2?2?(?)?3??6.
rrrrrrrrrrrrr|a|?3|b|?3|c|?23变式1: 已知,,,且a?b?c?0,求a?b?b?c?c?a. r?rrrrrr?????解:作AB=c,BC=a,∵a?b?c?0,∴CA=b,
rrrrrr2r2r2 ∵||a|?|b||?|c|?|a|?|b|且|c|?|a|?|b|,
???12B C
C A B
∴?ABC中,C?90, ∴tanA?o3oo,∴?A?30,?B?60, 3让学生学会学习
rrrrrroo所以,a?b?b?c?c?a?3?23cos150?3?23cos120??9?3??12.
四、巩固深化,反馈矫正
rrrrrrrrrrr1.当a与b同向时,a?b=___,当a与b反向时,a?b=___,特别地,a·a?__,|a|?___
rr2.a⊥b?______,cos??____;
rrrrr1r3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(b)??36,则a与b的夹角是_____ rrrrrrr04.已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45,要使?b-a与a垂直,则??____ rrrrrrrrrr5.已知|a|=4,|b|=5,a+b?21,求(1)a?b;(2)(2a-b)·(a+3b) rrrrrrrr06.已知|a|=4,|b|=3,(1)若a与b夹角为60,求(a+2b)·(a-3b); rrrrrr(2)若(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角?
5rrrrrrrr07.已知|a|=2,|b|=3,a和b的夹角为45,求当向量a+?b与?a+b的夹角为锐角时?的取值范围
rrrrrrrr8.已知x?a+b,y?2a+b,且|a|=|b|=1, a⊥b,
(1)求|x|,|y|;(2)若x与y的夹角为,求cos?值。
五、归纳整理,整体认识
1.有关概念:向量的夹角、射影、向量的数量积. 2.向量数量积的几何意义和物理意义. 3.向量数量积的六条性质. 六、承上启下,留下悬念
1.填空
rrrrrro①已知|a|?5,|b|?4,a与b的夹角??120,则a?b??10; rrrrr1r|b|?4②已知,a在b上的投影是|b|,则a?b? 8 ;
2rrrrrro③已知|a|?5,|b|?4,a?b??32,则a与b的夹角??135. rrrrrrrr④若非零向量a与b满足|a?b|?|a?b|,则a?b? 0 .
2.预习向量数量积的运算规律
七、板书设计(略) 八、课后记:
让学生学会学习
概念辨析:正确理解向量夹角定义
苏教版高中数学必修四向量的数量积一教案
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