让学生学会学习
第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件
3．掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 【教学重点与难点】：
重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义； 难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质； 【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题
【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？ 二、研探新知
1.平面向量数量积的物理背景及其含义
物理学中，物体所做的功的计算方法：
F W?|F||S|（其中?是F与S的夹角）
2.向量夹角
????α S rrr?r?????roo已知两个向量a和b，作OA=a，OB=b，则?AOB??（0???180）叫做向量ar与b的夹角。
让学生学会学习
rr当??0时，a与b同向；
orr当??180时，a与b反向；
orrrrrro当??90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a?b．
o3.向量数量积的定义：
rrrrrr已知两个非零向量a和b，它们的夹角为?，则数量|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积rrrrrr（或内积），记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?．
【说明】：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos?的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；
rrrrrr②两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是
两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③规定，零向量与任一向量的数量积是0；
rrrrr④在实数中，若a?0，且a?b?0，则b?0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，
rr不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0；
rrrrrra=c； ⑤已知实数a、b、c(b?0)，则a?b?b?c?a?c.但是a?b=b·crrrrr⑥在实数中，有(a?b)?c?a?(b?c)，但是(a?b)·c ? a·(b?c) rr 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而rr一般a与c不共线.
4.数量积的性质：
rrrrr设a、设a、b都是非零向量，?是a与b的夹角，则
rrrra?b①cos??rr；（|a||b|≠0）
|a||b|rrrrrrrrrrrr②当a与b同向时，a?b?|a||b|；当a与b反向时，a?b??|a||b|；
rrr2rrr特别地：a?a?|a|或|a|?a?a；
rrrr③|a?b|?|a||b|； rrrr④a?b?a?b?0；
rrrrrrr⑤若e是与b方向相同的单位向量，则e?a?a?e?|a|cos?．
5．数量积的几何意义 （1）投影的概念：
rr如图，OA=a，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1?|b|cos?．
???
BrbBO ?arrbC
BB1 AB1 O r?arb A?O( B1) A让学生学会学习
rrrrrr我们把|b|cos?（│a│cos?）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，
当?为锐角时射影为正值；
当?为钝角时射影为负值； 当?为直角时射影为0；
r 当? = 0?时射影为|b|； r?|b| 当?= 180?时射影为
（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？
rrrrrrr期望学生回答：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘
积。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．判断正误，并简要说明理由
rrrrr?rrrr?????①a·0=0； ②0·a=0； ③0-AB=BA； ④a?b=|a||b|；
rrrrrrrrrr⑤若a?0，则对任一非零b，有a?b?0； ⑥a?b=0，则a与b至少有一个为0；
rrrrrrrr⑦对任意向量a、b、c都有(a?b)·c=a·(b?c)； rrr2r2⑧a与b是两个单位向量，则a=b
rrrr例2（教材P77例1）已知向量a与向量b的夹角为?，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条
rrrrrr0件下求a?b：（1）??135；（2）a∥b；（3）a⊥b
r?rrrrrr??r???r例3 已知正?ABC的边长为2，设BC=a，CA=b，AB=c，求a?b?b?c?c?a．
rrrrrroA 解：如图，a与b、b与c、a与c夹角为120，
???rrrrrrooo ∴原式?|a|?|b|?cos120?|b|?|c|?cos120?|a|?|c|?cos120
?2?2?(?)?3??6．
rrrrrrrrrrrrr|a|?3|b|?3|c|?23变式1： 已知，，，且a?b?c?0，求a?b?b?c?c?a． r?rrrrrr?????解：作AB=c，BC=a，∵a?b?c?0，∴CA=b，
rrrrrr2r2r2 ∵||a|?|b||?|c|?|a|?|b|且|c|?|a|?|b|，
???12B C
C A B
∴?ABC中，C?90， ∴tanA?o3oo，∴?A?30，?B?60， 3让学生学会学习
rrrrrroo所以，a?b?b?c?c?a?3?23cos150?3?23cos120??9?3??12．
四、巩固深化，反馈矫正
rrrrrrrrrrr1.当a与b同向时,a?b=___,当a与b反向时,a?b=___，特别地，a·a?__，|a|?___
rr2.a⊥b?______，cos??____；
rrrrr1r3.已知|a|=10,|b|=12，且(3a)·(b)??36，则a与b的夹角是_____ rrrrrrr04.已知|a|=2,|b|=2，a与b的夹角为45，要使?b-a与a垂直，则??____ rrrrrrrrrr5.已知|a|=4,|b|=5，a+b?21,求（1）a?b；（2）(2a-b)·(a+3b) rrrrrrrr06.已知|a|=4,|b|=3,（1）若a与b夹角为60，求(a+2b)·(a-3b)； rrrrrr（2）若(2a-3b)·(2a+b)=61，求a与b的夹角?
5rrrrrrrr07.已知|a|=2,|b|=3，a和b的夹角为45，求当向量a+?b与?a+b的夹角为锐角时?的取值范围
rrrrrrrr8.已知x?a+b,y?2a+b，且|a|=|b|=1, a⊥b,
（1）求|x|,|y|；（2）若x与y的夹角为，求cos?值。
五、归纳整理，整体认识
1.有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积. 2.向量数量积的几何意义和物理意义. 3.向量数量积的六条性质. 六、承上启下，留下悬念
1．填空
rrrrrro①已知|a|?5，|b|?4，a与b的夹角??120，则a?b??10； rrrrr1r|b|?4②已知，a在b上的投影是|b|，则a?b? 8 ；
2rrrrrro③已知|a|?5，|b|?4，a?b??32，则a与b的夹角??135． rrrrrrrr④若非零向量a与b满足|a?b|?|a?b|，则a?b? 0 ．
2．预习向量数量积的运算规律
七、板书设计（略） 八、课后记：
让学生学会学习
概念辨析：正确理解向量夹角定义
苏教版高中数学必修四向量的数量积一教案
