第八章 第八节 曲线与方程
一、选择题
uuur1uuur2uuuruuur1.已知| AB|=3,A、B分别在y轴和x轴上运动,O为原点, OP= OA+ OB,
3
3
则动点P的轨迹方程是 ( )
A.+y=1 4C.+y=1 9
x2x2
2
B.x+=1
4D.x+=1
9
2
2
y2y2
2
uuuruuur22
解析:设A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),则由| AB|=3得x0+y0=9,又因为 OP=
uuuruuuruuur1uuur2uuur2x0y0
(x,y), OA=(0,y0), OB=(x0,0),由 OP= OA+ OB得x=,y=,因
3
3
3
3
3xx222
此x0=,y0=3y,将其代入x0+y0=9得+y=1.
24
答案:A
2.(2020·深圳模拟)已知两个定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则
点
2
P的轨迹所围成的图形的面积等于
( )
A.π C.8π
B.4π
D.9π
2
2
2
2
2
2
解析:设P(x,y),则|PA|=(x+2)+y,|PB|=(x-1)+y,又|PA|=2|PB|, ∴(x+2)+y=4(x-1)+4y,
∴(x-2)+y=4,表示圆,∴S=πr=4π. 答案:B
2
2
2
2
2
2
2
uuuruuur3.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 OC=λ1 OA+λ2 uuurOB (O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是 ( )
A.直线 C.圆
B.椭圆 D.双曲线
uuuruuur解析:设C(x,y),则 OC=(x,y), OA=(3,1), uuurOB=(-1,3),
uuuruuuruuur?x=3λ1-λ2?∵OC=λ1 OA+λ2 OB,∴?
??y=λ1+3λ2
,又λ1+λ2=1,
∴x+2y-5=0,表示一条直线.
答案:A
4.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( )
A.y-=1(y≤-1)
48C.x-=1(x≤-1)
48
22
x2y2
B.y-=1(y≥1)
48D.x-=1(x≥1)
48
2
2
x2y2
解析:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,
故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支,又c=7,a=1,b= 48,∴点F的轨迹方程为y-=1(y≤-1).
48答案:A
5.(2020·杭州模拟)给出以下方程:
①2x+y=0;②3x+5y=1;③3x-5y=1;④|x|+|y|=2;⑤|x-y|=2,则其对
2
2
2
2
2
2
2
x2
应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 ( )
A.1 C.3
B.2 D.4
2
2
2
2
2
解析:所给出的方程中,①2x+y=0是抛物线,②3x+5y=1是椭圆,③3x-5y=1是双曲线,④|x|+|y|=2是一个正方形,⑤|x-y|=2是两条平行直线,只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线,可以放进一个足够大的圆内.
答案:B
6.圆O:x+y=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线l是圆O的一条切线,若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是 ( )
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线
D.圆
2
2
解析:设抛物线的焦点为F,因为A、B在抛物线上,所以由抛物线的定义知,A、B到
F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN,于是|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.
过O作OP⊥l,由于l是圆O的一条切线,所以四边形AMNB是直角梯形,OP是中位线,故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP|=8>4=|AB|.
根据椭圆的定义知,焦点F的轨迹是一个椭圆. 答案:B
二、填空题 7.直线+
xy=1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是____________.
a2-axy解析:(参数法)设直线+=1与x、y轴交点为A(a,0),B(0,2-a),A、B中点为
a2-aaaM(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.
2
2
答案:x+y=1(x≠0,x≠1)
8.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线
x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.
解析:如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支, 方程为-=1(x>3).
916答案:-=1(x>3).
916
9.(2020·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点; ②曲线C关于坐标原点对称;
12
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a.
2其中,所有正确结论的序号是____.
解析:因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,而a>1,所以曲线
2
x2x2
y2y2
C不过原点,即①错误;因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1||PF2|=a2对应的
1112
轨迹关于原点对称,即②正确;因为S△F1PF2=|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|=a,即
22212
面积不大于a,所以③正确.
2
答案:②③ 三、解答题
10.已知A、B分别是直线y=
33
x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为23,33
P是AB的中点.
求动点P的轨迹C的方程.
解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
??2
∵P是线段AB的中点,∴?y+yy=??2.
1
2
x1+x2x=,
∵A、B分别是直线y=∴y1=
33
x和y=-x上的点, 33
33
x1,y2=-x2. 33
?x1-x2=23y,?∴?23
y1-y2=x.?3?
又|AB|=23,∴(x1-x2)+(y1-y2)=12. 422
∴12y+x=12.
3
∴动点P的轨迹C的方程为+y=1.
9
11.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
|OP|
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M|OM|的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c, 由已知得?
??a-c=1
22
x2
2
??a+c=7,
x2
解得a=4,c=3.
b2=a2-c2=16-9=7.
所以椭圆C的方程为+=1.
167(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4]. |OP|2
由已知2=λ及点P在椭圆C上可得
|OM|9x+1122
=λ, 22
16x+y整理得(16λ-9)x+16λy=112,其中x∈[-4,4].
2
2
22
2
2
y2
32
①λ=时,化简得9y=112,
4
47
所以点M的轨迹方程为y=±(-4 ≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.
33
②λ≠时,方程变形为4其中x∈[-4,4];
3
当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部
4分;
3
当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分; 4当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.
12.(2020·广东高考改编)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.
当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程.
解:如图,可得直线l:x=-2与x轴交于点A(-2,0),设P(-2,m), (1)当m=0时,点P与点A重合,这时OP的垂直平分线为x=-1,由∠AOP=∠MPO=0°,得M(-1,0);
(2)当m≠0时,设M(x0,y0),
①若x0>-1,由∠MPO=∠AOP得MP∥OA,有y0=m, 又kOP=-,OP的中点为(-1,),
22
+=1,
1121122216λ-916λx2y2
mmm2
∴OP的垂直平分线为y-=(x+1),而点M在OP的垂直平分线上,
2mm2
∴y0-=(x0+1),又m=y0,
2my022
于是y0-=(x0+1),即y0=4(x0+1)(x0>-1).
2y0
②若x0<-1,如图,由∠MPO=∠AOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点,在y-
22mm=(x+1)中,令y=0,有x=--1<-1,即M(- -1,0), m44∴点M的轨迹E的方程为y=4(x+1)(x≥-1)和y=0(x<-1)
2
2
2
m
2020届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第八节 曲线与方程 理
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)