第八章 第八节 曲线与方程
一、选择题
uuur1uuur2uuuruuur1．已知| AB|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点， OP＝ OA＋ OB，
3
3
则动点P的轨迹方程是 ( )
A.＋y＝1 4C.＋y＝1 9
x2x2
2
B．x＋＝1
4D．x＋＝1
9
2
2
y2y2
2
uuuruuur22
解析：设A(0，y0)，B(x0,0)，P(x，y)，则由| AB|＝3得x0＋y0＝9，又因为 OP＝
uuuruuuruuur1uuur2uuur2x0y0
(x，y)， OA＝(0，y0)， OB＝(x0,0)，由 OP＝ OA＋ OB得x＝，y＝，因
3
3
3
3
3xx222
此x0＝，y0＝3y，将其代入x0＋y0＝9得＋y＝1.
24
答案：A
2．(2020·深圳模拟)已知两个定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则
点
2
P的轨迹所围成的图形的面积等于
( )
A．π C．8π
B．4π
D．9π
2
2
2
2
2
2
解析：设P(x，y)，则|PA|＝(x＋2)＋y，|PB|＝(x－1)＋y，又|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)＋y＝4(x－1)＋4y，
∴(x－2)＋y＝4，表示圆，∴S＝πr＝4π. 答案：B
2
2
2
2
2
2
2
uuuruuur3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足 OC＝λ1 OA＋λ2 uuurOB (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )
A．直线 C．圆
B．椭圆 D．双曲线
uuuruuur解析：设C(x，y)，则 OC＝(x，y)， OA＝(3,1)， uuurOB＝(－1,3)，
uuuruuuruuur?x＝3λ1－λ2?∵OC＝λ1 OA＋λ2 OB，∴?
??y＝λ1＋3λ2
，又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
答案：A
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( )
A．y－＝1(y≤－1)
48C．x－＝1(x≤－1)
48
22
x2y2
B．y－＝1(y≥1)
48D．x－＝1(x≥1)
48
2
2
x2y2
解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， ∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，
故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c＝7，a＝1，b＝ 48，∴点F的轨迹方程为y－＝1(y≤－1)．
48答案：A
5．(2020·杭州模拟)给出以下方程：
①2x＋y＝0；②3x＋5y＝1；③3x－5y＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，则其对
2
2
2
2
2
2
2
x2
应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 ( )
A．1 C．3
B．2 D．4
2
2
2
2
2
解析：所给出的方程中，①2x＋y＝0是抛物线，②3x＋5y＝1是椭圆，③3x－5y＝1是双曲线，④|x|＋|y|＝2是一个正方形，⑤|x－y|＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．
答案：B
6．圆O：x＋y＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线
D．圆
2
2
解析：设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A、B到
F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
过O作OP⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OP是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.
根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆． 答案：B
二、填空题 7．直线＋
xy＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是____________．
a2－axy解析：(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中点为
a2－aaaM(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
2
2
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线
x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为－＝1(x＞3)．
916答案：－＝1(x＞3)．
916
9．(2020·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称；
12
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a.
2其中，所有正确结论的序号是____．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线
2
x2x2
y2y2
C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的
1112
轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a，即
22212
面积不大于a，所以③正确．
2
答案：②③ 三、解答题
10．已知A、B分别是直线y＝
33
x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为23，33
P是AB的中点．
求动点P的轨迹C的方程．
解：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??2
∵P是线段AB的中点，∴?y＋yy＝??2.
1
2
x1＋x2x＝，
∵A、B分别是直线y＝∴y1＝
33
x和y＝－x上的点， 33
33
x1，y2＝－x2. 33
?x1－x2＝23y，?∴?23
y1－y2＝x.?3?
又|AB|＝23，∴(x1－x2)＋(y1－y2)＝12. 422
∴12y＋x＝12.
3
∴动点P的轨迹C的方程为＋y＝1.
9
11．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
|OP|
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M|OM|的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c， 由已知得?
??a－c＝1
22
x2
2
??a＋c＝7，
x2
解得a＝4，c＝3.
b2＝a2－c2＝16－9＝7.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
167(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]． |OP|2
由已知2＝λ及点P在椭圆C上可得
|OM|9x＋1122
＝λ， 22
16x＋y整理得(16λ－9)x＋16λy＝112，其中x∈[－4,4]．
2
2
22
2
2
y2
32
①λ＝时，化简得9y＝112，
4
47
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4 ≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
33
②λ≠时，方程变形为4其中x∈[－4,4]；
3
当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部
4分；
3
当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分； 4当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
12．(2020·广东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.
当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程．
解：如图，可得直线l：x＝－2与x轴交于点A(－2,0)，设P(－2，m)， (1)当m＝0时，点P与点A重合，这时OP的垂直平分线为x＝－1，由∠AOP＝∠MPO＝0°，得M(－1,0)；
(2)当m≠0时，设M(x0，y0)，
①若x0>－1，由∠MPO＝∠AOP得MP∥OA，有y0＝m， 又kOP＝－，OP的中点为(－1，)，
22
＋＝1，
1121122216λ－916λx2y2
mmm2
∴OP的垂直平分线为y－＝(x＋1)，而点M在OP的垂直平分线上，
2mm2
∴y0－＝(x0＋1)，又m＝y0，
2my022
于是y0－＝(x0＋1)，即y0＝4(x0＋1)(x0>－1)．
2y0
②若x0<－1，如图，由∠MPO＝∠AOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点，在y－
22mm＝(x＋1)中，令y＝0，有x＝－－1<－1，即M(－ －1,0)， m44∴点M的轨迹E的方程为y＝4(x＋1)(x≥－1)和y＝0(x<－1)
2
2
2
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2020届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第八节 曲线与方程 理
