2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1. 用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表
示的数是( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
2. 用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方
体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 3
3. 如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是( )
112
5
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 三个关于x的方程：??1(??+1)(???2)=1，??2(??+1)(???2)=1，??3(??+1)(???
2)=1，已知常数??1>??2>??3>0，若??1、??2、??3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是( )
A. ??1
B. ??1>??2>??3
D. 不能确定??1、??2、??3的大小
??
5. 如图正方形ABCD的顶点A在第二象限??=??图象上，
点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线??=??的图象上，若??阴影=3，则k的值为( )
2
A. ?1 B. ?3
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4
C. ?3 D. ?2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2??+??>5??
6. 关于x的不等式组{???5≤???1?1有且只有四个整数解，则a的取值范围是______．
327. 如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角
三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是______． 8. 如图，△??????中，????//????交AB、AC于M、N，MN
与△??????内切圆相切，若△??????周长为12，设????=??，
????=??，则y与x的函数解析式为______(不要求写自变量x的取值范围)．
9. 平面直角坐标系中，⊙??交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙??外y轴正半轴上一
C为第三象限内⊙??上一点，????⊥????交CB延长线于点H，点，已知∠??????=2∠??????，????=15，????=24，则tan∠??????的值为______．
5
三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）
10. x、y是一个函数的两个变量，若当??≤??≤??时，有??≤??≤??(??
为??≤??≤??上的闭函数．如??=???+3，当??=1时??=2；当??=2时??=1，即当1≤??≤2时，1≤??≤2，所以??=???+3是1≤??≤2上的闭函数．
(1)请说明??=
30??
是1≤??≤30上的闭函数；
(2)已知二次函数??=??2+4??+??是??≤??≤?2上的闭函数，求k和t的值；
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(3)在(2)的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线??=??上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△??????为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为______．
11. 如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙??交x轴正半轴于点A，交y轴正半
轴于点B，∠??????=45°．
(1)求证：PO平分∠??????； (2)作????⊥????交弦PA于H．
①若????=2，????+????=8，求BP的长；
②若????=??，????=??，把△??????沿y轴翻折，得到△??′????(如图2)，求????′的长．
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答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0， 则1=1×20，2=1×21+0×20，3=1×21+1×21，4=1×22+0×21+0×20，5=1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=25， 故选：C．
由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，将各亮灯情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得．
本题主要考查图形和数字的变化规律，解题的关键是将亮灯情况转化为二进制的数字及二进制与十进制数字的转换方法． 2.【答案】A
【解析】解：在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；
其中左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④； ∴左视图不变的概率是6，
故选：A．
在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；
其中结果左视图不变的情况有5种：②④；③④；①②；①③；①④；②④；③④；
即可得出左视图不变的概率．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率??(??)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 3.【答案】D
【解析】解：有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等是假命题，因为如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等；
一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，是假命题；， 综合以上到达的是丁， 故选：D．
分别判断三个命题的真假后即可确定到达的位置．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的判断三个命题，难度不大． 4.【答案】A
【解析】解：∵??1>??2>??3>0，
∴二次函数??1=??1(??+1)(???2)，??2=??2(??+1)(???2)，??3=??3(??+1)(???2)开口大小为：??1>??2>??3． ∴其函数图象大致为：
5
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．
∴??1
由??=??(??+1)(???2)=??(???2)2?4??得到顶点坐标是(2,?4??)，抛物线与x轴的交点坐标是(?1,2)，据此作出函数图象，结合函数图象作出判断．
考查了抛物线与x轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化． 5.【答案】B
【解析】解：如图，过点A作????⊥??轴，过点D作????⊥??轴，作????⊥????交y轴于H，
1
7
1
7
∴四边形DHOE是矩形
∵∠??????=∠??????=90°
∴∠???????∠??????=∠???????∠??????
∴∠??????=∠??????，
∵点D在第一象限直线??=??的图象上，
∴????=????，且∠??????=∠??????，∠??????=∠?????? ∴△??????≌△??????(??????) ∴??△??????=??△??????，
∴??阴影=
2
=??四边形????????=????×???? 3√6 3同理可证：△??????≌△??????≌△??????≌△?????? ∴????=????=????=????，????=????=????=????
∴????=????=
∴????=????=∴????=
2√6 3√6=????=???? 3第5页，共11页
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析
