精选教案
题型专题(八) 排列组合与二项式定理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
[题组练透]
1．某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案共有( )
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
解析：选C 三个班去四个工厂不同的分配方案共有43种，甲工厂没有班级去的分配方案共有33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．
2．(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
1解析：选B 由题意可知E→F有C24种走法，F→G有C3种走法，由分步乘法计数原理知，1共C24·C3＝18种走法，故选B.
3．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1 A．240 B．204 C．729 D．920 解析：选A 分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个； 可编辑 精选教案 当中间数为3时，有2×3＝6个； 当中间数为4时，有3×4＝12个； 当中间数为5时，有4×5＝20个； 当中间数为6时，有5×6＝30个； 当中间数为7时，有6×7＝42个； 当中间数为8时，有7×8＝56个； 当中间数为9时，有8×9＝72个． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数． [技法融会] 1．两个计数原理的应用技巧 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 2．(易错提醒)在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关键. 名称 相同点 排列 组合 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 ①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关； ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 不同点 ②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 [题组练透] 1．(2016·兰州模拟)将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A．24种 B．12种 C．10种 D．9种 可编辑 精选教案 解析：选B 第一步，为甲校选1名女教师，有C12＝2种选法；第二步，为甲校选2名男 2＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的教师，有C4 安排方案共有2×6×1＝12种，选B. 2．(2016·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72 1种选择； 解析：选D 第一步，先排个位，有C3 第二步，排前4位，有A44种选择． 1·A4＝72(个)． 由分步乘法计数原理，知有C34 3．(2016·长春质检)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( ) A．18种 B．27种 C．37种 D．212种 解析：选C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4 3，有35种方式．共计37种取法．故选C. 次3瓶，取法为C7 4．(2016·河南八市联考)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A．15 B．20 C．30 D．42 2种分法，将分到一组的两个篮球看成一个与其解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C4 3余两个篮球全排列有A33种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A3种分法，所以有33C24A3－A3＝36－6＝30种分法． [技法融会] 解答排列组合问题的4个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； 可编辑 精选教案 (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决. 1．通项公式与二项式系数 n－kbk(k＝0，1，2，…，n)，其中Ck叫做二项式系数． Tk＋1＝Cknan提示：Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项． 2．各二项式系数之和 0＋C1＋C2＋…＋Cn＝2n. (1)Cnnnn1＋C3＋…＝C0＋C2＋…＝2n－1. (2)Cnnnn[题组练透] 1．(2016·河北五校联考)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( ) A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680 解析：选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且 4(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C. T5＝C8 2．(2016·山西四校联考)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8 等于( ) A．－5 B．5 C．90 D．180 解析：选D ∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8 2＝C810·2＝180. ?1?8 23．(2016·天津高考)?x－?的展开式中x7的系数为________．(用数字作答) x?? 可编辑 精选教案 ??1?r1?8 r(x2)8－r?－?＝(－1)rCrx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，解析：?x2－?的通项Tr＋1＝C88 xx???? 则x7的系数为(－1)3C38＝－56. 答案：－56 ?1??1?5 4．(2016·广州模拟)若?ax＋??2x＋?展开式中的常数项为－40，则a＝________. x??x????1?r?1?51? r5－rr5－r5－2r?2x＋?展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C5(2x)·??＝C52x，解析：因为?ax＋?(2xxxx?????? 11 532－13＋)的展开式中的常数项为－40，所以axC52x＋C252x＝－40，所以40a＋80＝－40， xx解得a＝－3. 答案：－3 [技法融会] 1．利用二项式定理求解的2种常用思路 (1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的． (2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值． 2．(易错提醒)在应用通项公式时，要注意以下几点： (1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定； (2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项； (3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置. 二项式定理与其他知识的交汇 近年，对二项式定理的考查由单一考查向交汇考查转变，在考查时，多与定积分、直线的方程、指数式与对数式的运算相结合，复习时，应引起重视． [新题速递] ?1?n1．(2016·贵州模拟)二项式?x－?(n∈N*)展开式中存在常数项的一个充分条件是( ) ?x? 可编辑
高三数学二轮复习 第一部分 基础送分题 题型专题(八)排列组合与二项式定理教师用书 理
