2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题(三)
数学
时间：60分钟 总分：100分
[对应学生用书p327]
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)
1．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是( ) ．．
甲 乙 9 7 2 4 2 2 8 8 1 9 1 3 9 6 9 A.甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大 C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等 [答案] B
2．已知命题p：“关于x的方程x2－4x＋a＝0有实根”，若綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1]
[解析] 由命题p为真，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4.所以綈p为真命题时，a>4.因为a>3m＋1是綈p为真命题的充分不必要条件， 所以3m＋1>4，故m>1，则m的取值范围为(1，＋∞)．
[答案] A
3．(多选)已知f(x)是定义在R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x3－3x，则( ) A．f(x)在(－∞，－1)上单调递增 B．f(x)的最小值为－2
C．不等式f(x)<0的解集为[－3，3] D．方程f(x)＋1＝0有4个不同的实数解
[解析] 当x≥0时，f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝1，所以f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，A错；易知f(x)min＝f(1)＝－2，B正确；由函数的草图易知，C错，D正确．故选BD.
[答案] BD
π1
ω>0，|φ|
相邻两个极值点x1，x2满足|x1－x2|＝1，则下列区间中存在极值点的是( )
π1－，0? B.?0，? A.??6??2?πππ1，? D.?，? C.??3??32?1?T1，0为f(x)的对称中心，[解析] 由|x1－x2|＝1得＝1，ω＝π，∵A?∴×π＋φ＝kπ(k∈Z)，?3?23
ππππ5
πx－?，∴f(x)的极值点为πx－＝＋kπ，x＝＋k，k∈Z，当k＝－1φ＝－，∴f(x)＝sin?3??3326π1
－，0?. 时，x＝－∈?6?6?
[答案] A
5．一个正三角形的三个顶点都在双曲线x2＋ny2＝1的右支上，且其中一个顶点在双曲
线的右顶点，则实数n的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)
[解析] 法一：记曲线的右顶点为A，由条件得过点A且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有交点，数形结合知，第一象限渐近线的斜率k＝
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－ 法二：设正三角形边长为2m，由题意得三角形的另一顶点P(1＋3m，m)在双曲线上，代入x2＋ny2＝1后可解得m＝ [答案] D 1 ax＋?，若f(x)≥0(x∈R)恒成立，则满足条件的a的个数为6．已知函数f(x)＝(ex－a)?e??( ) A．0 B．1 C．2 D．3 1 ax＋?≥0恒成立， [解析] 对任意x∈R，(ex－a)?e??①易知a＝0时满足题意； 1 ②a<0时，ex－a>0，但不一定对任意x∈R，ax＋≥0成立，舍去． e 1 ③a>0时，由题意知f(x)＝0的两根x1＝x2，即ln a＝－. aeex－111 令φ(x)＝ln x＋，φ′(x)＝2＝0，x＝， exexe1?∴φ(x)≥φ??e?＝0， 11 故ln a＝－恰有一根a＝. eae 综上，满足条件的a的个数为2. [答案] C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) ?x＋y≥0， －23 ，由m>0知a<－3. n＋3 ? 7．设实数x，y满足?x－y＋2≥0，则z＝2x－y的最大值是________． ??5x－y－6≤0， [解析] 画出不等式组表示的可行域如图所示，易知z＝2x－y在点A(1，－1)处取得最大值zmax＝2×1－(－1)＝3. [答案] 3 8．已知实数a≠0，对任意x∈R，有(1－ax)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，且4a1＋a2＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________． 22 [解析] 由二项式展开式的通项公式得a1＝C15(－a)，a2＝C5a，由4a1＋a2＝0，a≠0，解 得a＝2.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝(1－2)5＝－1. [答案] －1 9．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点， 3过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率 3 为__________． [解析] 分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的113 定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′| 223 3 ＝|MN|，所以∠MNN′＝30°，即直线MN的倾斜角为150°，又直线MN与直线l垂直且2直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为60°，kAB＝3. [答案] 3 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱A1D1，A1B1 的中点，P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界)，若FP∥平面AEC，则线段A1P长度的取值范围是______________________． [解析] 取B1C1中点G，连FG，GB，可证平面FGB∥平面AEC，故P在线段BG上运动． 在等腰三角形A1BG中，A1G＝BG＝5，A1B＝22，作A1H⊥BG于H，由等面积法230230?. 可求得A1H＝，则A1H≤A1P≤A1B，∴A1P的取值范围是?，225?5?230?[答案] ?，22 ?5? 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a22＝8a1＋1，公差d>0，S1、S4、S16成等比数列，数列{bn}满足log2bn＝(an－1)log2x. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 (2)已知cn＝，求数列{cn＋bn}的前n项和Tn. anan＋1 [解析] (1)由题意知S1＝a1，S4＝4a1＋6d，S16＝16a1＋120d， 由S2S16得(4a1＋6d)2＝a1(16a1＋120d)， 4＝S1·解得d＝2a1>0. 22又a22＝(a1＋d)＝8a1＋1，得9a1＝8a1＋1， 1 解得a1＝1或a1＝－(舍)． 9 ∴d＝2，an＝2n－1. 又log2bn＝(2n－2)log2x＝log2xn－1(x>0)， ∴bn＝xn－1. 1?1－1?(2)cn＝＝＝??， anan＋1（2n－1）（2n＋1）2?2n－12n＋1? 1 1 ①当x＝1时， Tn＝(c1＋c2＋…＋cn)＋(b1＋…＋bn) 1?1－1?＝?＋n. 2?2n＋1??②当x≠1时， n1?1－1?1－xTn＝?＋. 2?2n＋1??1－x 12．(16分) 已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1＝2，D是BC的中点，∠B1BA＝ 60°，B1D⊥AB. (1)求证：AB⊥AC； (2)若侧面ACC1A1为正方形，求直线B1D与平面C1AD所成角的正弦值． [解析] (1)如图，作B1O⊥AB于O，连接OD. ∵AB＝BB1＝2，∠B1BA＝60°，∴BO＝1，O为AB中点， 又D为BC中点，∴OD∥AC. 由B1D⊥AB，B1O⊥AB，B1D∩B1O＝B1，∴AB⊥平面B1OD， AB⊥OD，∴AB⊥AC. (2)由侧面ACC1A1为正方形，得AC⊥AA1，结合(1)得AC⊥平面ABB1A.在平面ABB1A内作AE⊥AB，故以A为坐标原点，射线AB，AC，AE分别为x，y，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A(0，0，0)，D(1，1，0)，C1(－1，2，3)，B1(1，0，3)， →→→ 则AD＝(1，1，0)，AC1＝(－1，2，3)，B1D＝(0，1，－3)， 设平面C1AD的法向量为n＝(x，y，z)， →?AD＝0，??n·?x＋y＝0，则?? →??－x＋2y＋3z＝0，AC1＝0，??n·故可取n＝(1，－1，3)， →－2n·B1D→ 则cos〈n，B1D〉＝＝， →5n||·B1D || 25 ∴直线B1D与平面C1AD所成角的正弦值为. 5
2021版新课标名师导学高考第一轮总复习综合试题(三)
