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小专题（五） 圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站． 圆上若有一切线，切点圆心半径连． 要想证明是切线，半径垂线仔细辨． 是直径，成半圆，想成直角径连弦． 弧有中点圆心连，垂径定理要记全． 圆周角边两条弦，直径和弦端点连． 还要作个内切圆，内角平分线梦圆． 三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算． 一、连半径——构造等腰三角形
1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．
二、半径与弦长计算，弦心距来中间站
方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．
2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．
三、见到直径——构造直径所对的圆周角
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方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径
方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.
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五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切
方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．
6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
六、内切圆，连接内角平分线把梦圆
方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．
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7．如图，△ABC中，E是内心，AE延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.
七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积
方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．
8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．
参考答案
1．证明：连接OA，OB. ∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB.
∴∠OAB＝∠OBA. ∴∠OAC＝∠OBD.
OA＝OB，??
在△AOC和△BOD中，?∠OAC＝∠OBD，
??AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)．
∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．
2．过O点作OC⊥AB，点C为垂足，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m． ∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝0.4 m．
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在Rt△AOC中，OA＝AC＋OC，
∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 3．连接BD.
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∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. 又∵∠ADC＝50°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.
∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角， ∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°. 4．证明：连接OG. ∵FE切⊙O于点G，
∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°. ∵CD⊥AB，
∴∠OAK＋∠AKH＝90°. 又∵∠AKH＝∠GKE， ∴∠OAK＋∠GKE＝90°. ∵OG＝OA，
∴∠OGA＝∠OAG. ∴∠KGE＝∠GKE. ∴KE＝GE.
5．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°. 又∵OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝30°. ∴∠AOP＝60°. 又∵AC＝AP，
∴∠P＝∠ACP＝30°. ∴∠OAP＝90°. ∴OA⊥AP.
∴AP是⊙O的切线．
6．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°. ∵AB切⊙O于点D， ∴OD⊥AB.
∴∠ODB＝90°. ∴∠ODB＝∠OEC. 又∵O是BC的中点， ∴OB＝OC. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.
∴△OBD≌△OCE(AAS)．
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径． ∴AC与⊙O相切． 7．证明：连接BE. ∵E为△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.
∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB.
8．连接OB，OC. ∵BC∥OA，
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∴△OBC和△ABC同底等高． ∴S△ABC＝S△OBC. ∴S阴影＝S扇形OBC. ∵AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB.
∵OA＝4，OB＝2， ∴∠AOB＝60°. ∵BC∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°. ∵OB＝OC，
∴△OBC为正三角形． ∴∠OCB＝60°.
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∴S60π×22π
阴影＝S扇形OBC＝360＝3
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九年级数学下册2圆小专题五圆中常见辅助线的作法习题新版湘教版
