(人教A版)高中数学选修1-2(全册)课时同步练习汇总

3

3．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>2”的推理过程中，其大前提是________．

a＋a＋1解析：写成三段论的形式：

不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提 (a2＋a＋1)x>3，a2＋a＋1>0小前提 3x>2结论 a＋a＋1

答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．

1

4．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 016)＝________.

4解析：令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)① 令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②

由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－f(x＋3)， ∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，

∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期为6， ∴f(2 016)＝f(6×336＋0)＝f(0)

对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)， 11∴f(0)＝,即f(2 016)＝. 221

答案：

2

5．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)， (1)求证：f(x2)＝2f(x)． (2)求f(1)的值．

(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围． 证明：(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，x、y∈(0，＋∞)． ∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)． (2)令x＝1，则f(1)＝2f(1)∴f(1)＝0. (3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f[x(x＋3)]，且f(4)＝2. 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

??x>0，所以?

?x＋3>0，?

x(x＋3)≤4，解得0

6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明数列{an－n}是等比数列．

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立． 证明：(1)∵an＋1＝4an－3n＋1 ∴an＋1－(n＋1)＝4an－4n，n∈N*. 又a1－1＝1

所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知，an－n＝4n1，于是an＝4n1＋n 4n－1n?n＋1?

故Sn＝＋. 32

4n1－1?n＋1??n＋2??4n－1n?n＋1??(3)Sn＋1－4Sn＝＋－4

32?3＋2?. 11

＝－(3n2＋n－4)＝－(3n＋4)(n－1)≤0，

22故Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*恒成立.

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A．分析法 B．综合法

C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 答案：B

1－x2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )

1＋xA．b 1C. b

解析：f(x)定义域为(－1,1)，

1＋a1－a－11－a

f(－a)＝lg＝lg()＝－lg＝－f(a)＝－b.

1－a1＋a1＋a答案：B

3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是( ) A．a－b>0

B．a－c>0 B．－b 1

D．－

b

＋

－

－

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

解析：b2－ac<3a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?(a－c)·(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. 答案：C

4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是( ) A．a2b2＋c2

B．a2＝b2＋c2 D．a2≤b2＋c2

b2＋c2－a2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b2＋c2－a2<0，

2bc即b2＋c2

5．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为( ) A．a>b C．a＝b

B．a

解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x<0时，0b. 答案：A 6．已知sin x＝解析：∵sin x＝5π3ππ

，x∈(，)，则tan(x－)＝________. 52245π3π

，x∈(，)，∴cos x＝－ 522

4

， 5

1πtan x－1

∴tan x＝－，∴tan(x－)＝＝－3.

241＋tan x答案：－3

7．如果aa＋bb>ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb>ab＋ba?aa－ab>ba－bb ?a(a－b)>b(a－b)?(a－b)(a－b)>0 ?(a＋b)(a－b)2>0，

故只需a≠b且a，b都不小于零即可． 答案：a≥0，b≥0且a≠b

1

8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．

2解析：∵(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)2≤0，

∴(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，

1

∴lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．

2答案：≤

9．设a，b大于0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2. 证明：要证a3＋b3>a2b＋ab2成立， 即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立． 又因a＋b>0，

故只需证a2－ab＋b2>ab成立， 即需证a2－2ab＋b2>0成立， 即需证(a－b)2>0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立． 故原不等式a3＋b3>a2b＋ab2成立．

10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：1

函数y＝f(x＋)为偶函数．

2

证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称． ∴f(x＋1)＝f(－x) ，

1

则y＝f(x)的图象关于x＝对称，

2b1

∴－＝，∴a＝－b.

2a2

1a

则f(x)＝ax2－ax＋c＝a(x－)2＋c－，

241a

∴f(x＋)＝ax2＋c－为偶函数．

24

[B组 能力提升]

11

1．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )

abA．8 C．1

B．4 1D. 4

a＋b＋

解析：3是3a与3b的等比中项?3a·3b＝3?3ab＝3?a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以ab≤

211＝?ab≤， 24

11a＋b11所以＋＝＝≥＝4.

ababab1

4答案：B

2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确； 若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确； 若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B

3．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A1C⊥B1D1， 只需证明B1D1⊥平面A1C1C， 因为CC1⊥B1D1，

只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1， 从而得B1D1⊥A1C1.

答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)

13

4．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是

22解析：|x－a|<1?a－1

13

由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有

2213答案：≤a≤

22

?

?3a＋1≥?2

1a－1≤

2

13

(且等号不同时成立)，解得≤a≤.

22

5．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形． 证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C. ① 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ② π

由①②，得B＝. ③

3

由a，b，c成等比数列，有b2＝ac. ④ 由余弦定理及③，