2013年高考数学总复习(山东专用)第八章第8课时 抛物线 课时
闯关(含解析)
一、选择题
1.若抛物线y=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为( )
62
A.-2 B.2 C.-4 D.4
解析:选D.由已知得椭圆+=1的右焦点为F(2,0),∴=2,得p=4.
622
2
2.(2010·高考湖南卷)设抛物线y=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12
2
解析:选B.y=8x的焦点是F(2,0), 准线x=-2,
如图所示,|PA|=4,|AB|=2,
2
x2y2
x2y2p∴|PB|=|PF|=6.故选B.
22
3.已知抛物线C与双曲线x-y=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( )
22
A.y=±22x B.y=±2x
22
C.y=±4x D.y=±42x 解析:选D.因为双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).
2
设抛物线方程为y=±2px(p>0), 则=2,所以p=22, 2所以抛物线方程为y=±42x.
2
px22
4.已知抛物线y=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y=1的
a左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是( )
2
11A. B. 25911C. D. 53
2
解析:选B.根据抛物线定义可得,抛物线的准线方程为x=-4,则抛物线方程为y=16x. 把M(1,m)代入得m=4,即M(1,4).
x2241
在双曲线-y=1中,A(-a,0),则kAM==.
a1+aa1
解得a=.
9
5.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,若直线l的倾斜角为45°,则弦AB的中点坐标为( )
1
A.(1,0) C.(3,2) B.(2,2) D.(2,4)
2
??y=4x2
解析:选C.依题意得,抛物线C的方程是y=4x,直线l的方程是y=x-1.由?
?y=x-1?
622
消去y得(x-1)=4x,即x-6x+1=0,因此线段AB的中点的横坐标是=3,纵坐标是y2
=3-1=2,所以线段AB的中点坐标是(3,2),因此选C. 二、填空题
2
6.已知抛物线y=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x=________.
2
解析:抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1.根据抛物线的定义,点M到准线的距离为4,则M的横坐标为3. 答案:3
2
7.(2012·开封质检)已知抛物线y=ax(a≠0)的焦点为F,准线l与对称轴交于R点,过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q,则(1)抛物线的焦点坐标是________;(2)梯形PQRF的面积是________.
1?1?1??2
解析:代入(1,2)得a=2,所以抛物线方程为x=y,故焦点F?0,?.又R?0,-?,|FR|
8?2?8??
1117=,|PQ|=2+=, 488
1?117?19
所以梯形的面积为×?+?×1=.
2?48?16
19?1?答案:(1)?0,? (2) 16?8?
1
8.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时,测量水面的宽度为8米,当水面上升米后,
2
水面的宽度是________米.
2
解析:设抛物线方程为x=-2py(p>0),将(4,-2)代入方程得16=-2p·(-2),解得2p=8,
13322
故方程为x=-8y,水面上升米,则y=-,代入方程,得x=-8·(-)=12,x=±23.
222故水面宽43 米.
答案:43 三、解答题
x2y2
9.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实
ab3
轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为(,6),求抛物线与双曲线的方程.
2
解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点, ∴p=2c.
2
设抛物线方程为y=4c·x,
3
∵抛物线过点(,6),
23
∴6=4c·,
2
∴c=1,
2
故抛物线方程为y=4x.
x2y23
又双曲线2-2=1过点(,6),
ab2
2
96222
2-2=1.又a+b=c=1, 4ab96∴2-2=1. 4a1-a122
∴a=或a=9(舍).
4
2
34y22
∴b=,故双曲线方程为:4x-=1.
43
2
10.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线的方程;
(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标. ∴
解:(1)抛物线y=2px的准线为x=-,于是4+=5,
22
∴p=2.
2
∴抛物线方程为y=4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).
4
又∵F(1,0),∴kFA=,
33
∵MN⊥FA,∴kMN=-.
44
又FA的方程为y=(x-1),
3
384
故MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,
455
?84?∴N的坐标为?,?. ?55?
2
11.已知直线AB与抛物线y=2px(p>0)交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,OD⊥AB于点D,点D的坐标为(2,1),求抛物线的方程.
1
解:由题意得kOD=,
2
∵AB⊥OD,∴kAB=-2, 又直线AB过点D(2,1),
∴直线AB的方程为y=-2x+5, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵以AB为直径的圆过点O, ∴OA·OB=0, 即x1x2+y1y2=0, ?y=-2x+5?由?2 ?y=2px?2
得4x-(2p+20)x+25=0,
p+1025
∴x1+x2=,x1x2=,
24
∴y1y2=(-2x1+5)(-2x2+5) =4x1x2-10(x1+x2)+25 =25-5p-50+25=-5p, 25
∴+(-5p)=0, 4
2
pp→→
3
5∴p=,
4
52
∴抛物线方程为y=x.
2
4
(山东专用)高考数学总复习 第八章第8课时 抛物线课时闯关(含解析)



