2013年高考数学总复习（山东专用）第八章第8课时 抛物线 课时
闯关（含解析）
一、选择题
1．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
62
A．－2 B．2 C．－4 D．4
解析：选D.由已知得椭圆＋＝1的右焦点为F(2,0)，∴＝2，得p＝4.
622
2
2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．12
2
解析：选B.y＝8x的焦点是F(2,0)， 准线x＝－2，
如图所示，|PA|＝4，|AB|＝2，
2
x2y2
x2y2p∴|PB|＝|PF|＝6.故选B.
22
3．已知抛物线C与双曲线x－y＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
22
A．y＝±22x B．y＝±2x
22
C．y＝±4x D．y＝±42x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．
2
设抛物线方程为y＝±2px(p>0)， 则＝2，所以p＝22， 2所以抛物线方程为y＝±42x.
2
px22
4．已知抛物线y＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y＝1的
a左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是( )
2
11A. B. 25911C. D. 53
2
解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y＝16x. 把M(1，m)代入得m＝4，即M(1,4)．
x2241
在双曲线－y＝1中，A(－a，0)，则kAM＝＝.
a1＋aa1
解得a＝.
9
5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为( )
1
A．(1,0) C．(3,2) B．(2,2) D．(2,4)
2
??y＝4x2
解析：选C.依题意得，抛物线C的方程是y＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由?
?y＝x－1?
622
消去y得(x－1)＝4x，即x－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y2
＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C. 二、填空题
2
6．已知抛物线y＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.
2
解析：抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3. 答案：3
2
7．(2012·开封质检)已知抛物线y＝ax(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF的面积是________．
1?1?1??2
解析：代入(1,2)得a＝2，所以抛物线方程为x＝y，故焦点F?0，?.又R?0，－?，|FR|
8?2?8??
1117＝，|PQ|＝2＋＝， 488
1?117?19
所以梯形的面积为×?＋?×1＝.
2?48?16
19?1?答案：(1)?0，? (2) 16?8?
1
8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升米后，
2
水面的宽度是________米．
2
解析：设抛物线方程为x＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，
13322
故方程为x＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x＝－8·(－)＝12，x＝±23.
222故水面宽43 米．
答案：43 三、解答题
x2y2
9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实
ab3
轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，6)，求抛物线与双曲线的方程．
2
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p＝2c.
2
设抛物线方程为y＝4c·x，
3
∵抛物线过点(，6)，
23
∴6＝4c·，
2
∴c＝1，
2
故抛物线方程为y＝4x.
x2y23
又双曲线2－2＝1过点(，6)，
ab2
2
96222
2－2＝1.又a＋b＝c＝1， 4ab96∴2－2＝1. 4a1－a122
∴a＝或a＝9(舍)．
4
2
34y22
∴b＝，故双曲线方程为：4x－＝1.
43
2
10．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． ∴
解：(1)抛物线y＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，
22
∴p＝2.
2
∴抛物线方程为y＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．
4
又∵F(1,0)，∴kFA＝，
33
∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
44
又FA的方程为y＝(x－1)，
3
384
故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，
455
?84?∴N的坐标为?，?. ?55?
2
11．已知直线AB与抛物线y＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．
1
解：由题意得kOD＝，
2
∵AB⊥OD，∴kAB＝－2， 又直线AB过点D(2,1)，
∴直线AB的方程为y＝－2x＋5， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵以AB为直径的圆过点O， ∴OA·OB＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， ?y＝－2x＋5?由?2 ?y＝2px?2
得4x－(2p＋20)x＋25＝0，
p＋1025
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
24
∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5) ＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25 ＝25－5p－50＋25＝－5p， 25
∴＋(－5p)＝0， 4
2
pp→→
3
5∴p＝，
4
52
∴抛物线方程为y＝x.
2
4
(山东专用)高考数学总复习 第八章第8课时 抛物线课时闯关(含解析)
