六、分析题
1. 随机抽样谢村和杨村的半年收入分别如下（万元）： X P 100 0 0 0 0 Y 5 10 20 30 35
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 P 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。
1. 解：数学期望和方差分别为：
11E(X)??xipi?100??...?0??205511E(X2)??xi2pi?1002??...?0??2000
55D(X)?E(X2)?(E(X))2?1600
11E(Y)??yipi?5??...?35??20
5511E(Y2)??xi2pi?52??...?352??530
55D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?130
由计算结果知道：E(X)?E(Y)，D(X)?D(Y)，而中位数?X?0,?Y?20,因此， 尽管两个村的平均半年收入相同，但杨村贫富差距更小，共同富裕程度更高。
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2.（8分）已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:
X Y 2 5
2 1/4 1/4 2 1/3 1/6 5 1/4 1/4 5 1/6 1/3
分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。
X Y 2 5 2.解：情形甲、乙中，X、Y的边缘分布都分别为：
X 2 5 Y 2 5
P 1/2 1/2 P 1/2 1/2
甲、乙两种情形的联合分布不同，但X、Y的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。
3. 随机抽样谢村和杨村的月收入分别如下（万元）：
X 50 0 0 0 0 Y 2 8 10 12 18
P 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 P 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。
3.解：数学期望和方差分别为：
11E(X)??xipi?50??...?0??10
5511E(X2)??xi2pi?502??...?0??500
55D(X)?E(X2)?(E(X))2?400
11E(Y)??yipi?2??...?18??10
5511E(Y2)??xi2pi?22??...?182??127.2
55 D(Y)?E(Y)?(E(Y))?27.2
由计算结果知道：E(X)?E(Y)，D(X)?D(Y)，而中位数?X?0,?Y?10,因此， 尽管两个村的平均月收入相同，但杨村贫富差距更小，共同富裕程度更高。
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七、应用题
11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??的指数分布，
5x?1?1?e5,x?0其密度函数为f(x)??5，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他
?0,其他?就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中只有一次未等到服务的概率。
1的5指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
1. 解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??P?X?10?????101?5edx?e?2； 5x（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为
1?2 P(Y?1)?C5e(1?e?2)4?5e?2(1?e?2)4
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2. 某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金，已知该市人员一年内发生生大人身事故的概率为0.005（假设每人发生事故是相互独立的），现有5000人参加此项保险，求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元的概率是多少？
(注：?(0.25)?0.5987,?(0.45)?0.6736,?(0.75)?0.7734,?(1.0025)?0.8419）2. 解：设 X为一年内发生重大人身事故的人数 ， 则X～B（5000，0.005), np=25,np(1-p)= 24.875 近似地，
一年的收益为 0.016*5000-2X=80-2X 万元
由题可得： P?20?80?2X?40??P?20?X?30??20?25X?2530?25??P?????4.98754.98754.9875??30?25??20?25??????????4.9875??4.9875?X?25~N?0,1?4.9875???1.0025?????1.0025??2??1.0025??1?0.6839
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3. 设随机变量X服从参数??1的指数分布，即X～E(1)，现在对X进行3次独立观测，求：（1）X的观测值大于1的概率；（2）至少有2次观测值大于1的概率．
?e?x,x?03. 解：（1）X的概率密度为f(x)??，
x?0?0,????P(X?1)??1f(x)dx??e?xdx??e?x1??1?e?1；
（2）用Y表示3次独立观测中X观测值大于1的次数，则Y～B(3,e?1)，
2?123?13P(Y?2)?P(Y?2)?P(Y?3)?C3(e)(1?e?1)1?C3(e)(1?e?1)0
?3e?2(1?e?1)?e?3?3e?2?2e?3．
4. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。 设一个学生
无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.75，0.2。 若学校共有1000名学生， 设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，求有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率.
（注：?(0.25)?0.5987,?(0.45)?0.6736,?(0.75)?0.7734,?(1.97)?0.9756. ）
4.??解：以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数, 则 Y~b(1000,0.75),则E(Y)=np= 750,D(Y)=np(1-p)=187.5由棣莫弗－拉普拉斯定理知, 只有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率为 ?Y?750777?750?P{X?777}?P???187.5??187.5?Y?750? = P??1.9718???(1.97)?0.9756?187.5?
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概率论与数理统计 (32学时)期末复习题
