37. 假定某工厂甲，乙，丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的
45%,35%,20%。若各车间的次品率依次为4%,2%,5%，现在从待出厂产品中检
查出1个次品，试判断它是由丙车间生产的概率。
38．甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ, η表示)的分布律如表1,表2所示. 试比较甲乙两射手的技术.
139．两个相互独立的事件A与B，A与B都不发生的概率为 ，A发生B不发
9生的概率与A不发生B发生的概率相等，求P(A),P(B)。 40．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?ke?(3x?4y), x?0,y?0f(x,y)??，
? 0 其他求(1)系数k；（2）P(0?X?1,0?Y?2)；（3）证明X与Y相互独立。 41．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布
N(72,?2)，且96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。（?(1)?0.8413,?(2)?0.9772）
42．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：t）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大。
?x?,43. 设随机变量X的概率密度为f(x)??2?0,?
0?x?2;其他.
试求：（1）E(X),D(X)；（2）D(2?3X)；（3）P?0?X?1?。
四、综合题
1.设随机变量X,Y独立同分布，且X1B(1,)，（1）记随机变量Z?X?Y，求Z4的分布律；（2）记随机变量U?max(X,Y)，求U的分布律。
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?2(1?x), 0?x?12.某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??，求E(X)，
? 0, 其他D(X)。
3.某人上班路上所需时间XN(30,100)（单位：min），已知上班时间是8:30，
他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次
的概率。
4. 设随机变量X的分布函数是
x??1,?0,?0.3,?1?x?0,??F(x)??0.5,0?x?1,
?0.71?x?2,?x?2.??1,(1) 求随机变量X的分布律; (2)若随机变量Y?X2, 求E?Y?。
5. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随
机地到达，试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。 6. 设随机变量X,Y的联合分布如右表 且X,Y相互独立，求a,b的值.
7. 已知二维随机变量(X,Y)联合分布律为
（1）求数a； Y X 1 2 4 （2）证明：X与Y不相互独立。 -1 1/24 3/24 2/24
a 0 2/24 4/24
2 2/24 3/24 1/24
8.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现以A,B,C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，证明：A,B,C两两独立，而 A,B,C不相互独立。
X Y 1 3 0 1/6 1/3 1 1/18 a 2 1/9 b 17
?e?x,9-.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,0?y?x???,其他,
求:(1)随机变量X的边缘概率密度;
9、解：（1）fX(x)? (2)概率P{X+Y≤1}。
?????f(x,y)dy
当x?0时，fX(x)??????f(x,y)dy=?e?xdy?xe?x
0x?xe?x x?0 当x?0时，fX(x)?0,fX(x)??0 x?0?（2） P(X?Y?1)?x?y?1??f(x,y)dxdy?x?y?10?y?x??e?xdxdy
??dy?00.51?yyedx?1?e?2e
?x?1?12
10. 司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为λ=的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
x?1?111?x??1?x?e5,x?010、解：(1)f(x)??5 , P{X>10}=?e5dx?e5105?0,x?0?15??10?e?2
(2) P{Y≥1}=1-P2(0)=1-C2(e)(1?e)?2e0?20?22?2?e?4
五、证明题
1.设A,B为任意随机事件，证明：P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)。
1-
证明：
AB?A(B?A)?A(B?AB)且A(B?AB)??,B?AB
A)B?(P)?A(P?)BP ( A B
?P(AB)?P(A)?P(B?
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2.某次大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药物。在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而未使用者中也有5人检验结果呈阳性。试证明：如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率超过90%。
2-证明：设A?{服用违禁药品}，B?{药检是阳性}.则根据已知有
P(A)?0.1,P(B|A)?0.9,P(B|A)?由全概率公式得，
5, 9005?0.095 900P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.1?0.9?0.9?由贝叶斯公式，得 P(A|B)?P(A)P(B|A)0.1?0.9??0.9474?0.9
P(B)0.095因此，如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率达
94.74%，超过90%。
3. 若事件A,B独立，证明事件A,B独立。
3证明：（PAB）?P(B-AB)?P(B)-P(AB) ,
A,B独立，所以P(AB)?P(A)P(B)
?P（AB）?P(B-AB)?P(B)-P(AB)?P(B)-P(A)P(B)?P(B)(1?P(A))?P(B)P(A)
由事件相互独立的定义可知事件A,B独立。
?4e?2(x?y), x?0,y?04. 设二维随机变量（X，Y）具有密度函数f(x,y)??
0, 其他?
证明：X与Y是否相互独立。
???????2(x?y)?2x?f(x,y)dy??4edy?4e?e?2ydy?2e?2x,x?0??004. 证明：fX(x)??????
??0,?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????,其它??2e?2y,y?0 ?同理可得：fY(y)???0,???????其它?易见，f(x,y)?fX(x)fY(y),???x???,???y???,因此X与Y相互独立
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5．设随机变量X?N(0,1)，?(x)是其分布函数，证明?(?x)?1??(x)。
5. 证明：
??xN(0,1) ??的密度函数为f(x)?1e2??x22,?f(?x)?f(x)
??(?x)????
??x??f(t)dt???f(?u)du??x??u??txf(u)du?1??f(u)du?1??(x)
6. 设事件AB发生，则事件C一定发生，证明P(A)?P(B)?P(C)?1。
6. 证明：由概率基本性质，因为AB?C,有P(AB)?P(C). 考虑到 P(A)?P(AB)?P(AB),P(B)?P(AB)?P(AB) ， （ 以及P(AB)?P(AB)?P(AB)?1?P(AB) 有P(A)?P(B)?P(C)?[P(AB)?P(AB)]?[P(AB)?P(AB)]?P(AB) ?P(AB)?P(AB)?P(AB)?1?P(AB)?1
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7. 若随机变量X服从N(?,?2)，试证Y?
7证明：对任何实数y，
(t??)22?2X???服从N(0,1)。
P{Y?y}?P{X??y??}??
因 而 Y服从N(0,1)
?y?????1e?2?dt??y??1?S2eds 2?
2
20
概率论与数理统计 (32学时)期末复习题
