37. 假定某工厂甲,乙,丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的
45%,35%,20%。若各车间的次品率依次为4%,2%,5%,现在从待出厂产品中检
查出1个次品,试判断它是由丙车间生产的概率。
38.甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ, η表示)的分布律如表1,表2所示. 试比较甲乙两射手的技术.
139.两个相互独立的事件A与B,A与B都不发生的概率为 ,A发生B不发
9生的概率与A不发生B发生的概率相等,求P(A),P(B)。 40.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?ke?(3x?4y), x?0,y?0f(x,y)??,
? 0 其他求(1)系数k;(2)P(0?X?1,0?Y?2);(3)证明X与Y相互独立。 41.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布
N(72,?2),且96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。(?(1)?0.8413,?(2)?0.9772)
42.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量,它在[2000,4000](单位:t)上服从均匀分布。若每售出一吨,可获得外汇3万美元,若销售不出而积压,则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源,才能使平均收益最大。
?x?,43. 设随机变量X的概率密度为f(x)??2?0,?
0?x?2;其他.
试求:(1)E(X),D(X);(2)D(2?3X);(3)P?0?X?1?。
四、综合题
1.设随机变量X,Y独立同分布,且X1B(1,),(1)记随机变量Z?X?Y,求Z4的分布律;(2)记随机变量U?max(X,Y),求U的分布律。
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?2(1?x), 0?x?12.某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??,求E(X),
? 0, 其他D(X)。
3.某人上班路上所需时间XN(30,100)(单位:min),已知上班时间是8:30,
他每天7:50出门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次
的概率。
4. 设随机变量X的分布函数是
x??1,?0,?0.3,?1?x?0,??F(x)??0.5,0?x?1,
?0.71?x?2,?x?2.??1,(1) 求随机变量X的分布律; (2)若随机变量Y?X2, 求E?Y?。
5. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随
机地到达,试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。 6. 设随机变量X,Y的联合分布如右表 且X,Y相互独立,求a,b的值.
7. 已知二维随机变量(X,Y)联合分布律为
(1)求数a; Y X 1 2 4 (2)证明:X与Y不相互独立。 -1 1/24 3/24 2/24
a 0 2/24 4/24
2 2/24 3/24 1/24
8.一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现以A,B,C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件,证明:A,B,C两两独立,而 A,B,C不相互独立。
X Y 1 3 0 1/6 1/3 1 1/18 a 2 1/9 b 17
?e?x,9-.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,0?y?x???,其他,
求:(1)随机变量X的边缘概率密度;
9、解:(1)fX(x)? (2)概率P{X+Y≤1}。
?????f(x,y)dy
当x?0时,fX(x)??????f(x,y)dy=?e?xdy?xe?x
0x?xe?x x?0 当x?0时,fX(x)?0,fX(x)??0 x?0?(2) P(X?Y?1)?x?y?1??f(x,y)dxdy?x?y?10?y?x??e?xdxdy
??dy?00.51?yyedx?1?e?2e
?x?1?12
10. 司机通过某高速路收费站等候的时间X(单位:分钟)服从参数为λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p;(2)若该司机一个月要经过此收费站两次,用Y表示等候时间超过10分钟的次数,写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.
x?1?111?x??1?x?e5,x?010、解:(1)f(x)??5 , P{X>10}=?e5dx?e5105?0,x?0?15??10?e?2
(2) P{Y≥1}=1-P2(0)=1-C2(e)(1?e)?2e0?20?22?2?e?4
五、证明题
1.设A,B为任意随机事件,证明:P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)。
1-
证明:
AB?A(B?A)?A(B?AB)且A(B?AB)??,B?AB
A)B?(P)?A(P?)BP ( A B
?P(AB)?P(A)?P(B?
18
2.某次大型体育运动会有1000名运动员参加,其中有100人服用了违禁药物。在使用者中,假定有90人的药物检查呈阳性,而未使用者中也有5人检验结果呈阳性。试证明:如果一个运动员的药物检查结果是阳性,则这名运动员确实使用违禁药品的概率超过90%。
2-证明:设A?{服用违禁药品},B?{药检是阳性}.则根据已知有
P(A)?0.1,P(B|A)?0.9,P(B|A)?由全概率公式得,
5, 9005?0.095 900P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.1?0.9?0.9?由贝叶斯公式,得 P(A|B)?P(A)P(B|A)0.1?0.9??0.9474?0.9
P(B)0.095因此,如果一个运动员的药物检查结果是阳性,则这名运动员确实使用违禁药品的概率达
94.74%,超过90%。
3. 若事件A,B独立,证明事件A,B独立。
3证明:(PAB)?P(B-AB)?P(B)-P(AB) ,
A,B独立,所以P(AB)?P(A)P(B)
?P(AB)?P(B-AB)?P(B)-P(AB)?P(B)-P(A)P(B)?P(B)(1?P(A))?P(B)P(A)
由事件相互独立的定义可知事件A,B独立。
?4e?2(x?y), x?0,y?04. 设二维随机变量(X,Y)具有密度函数f(x,y)??
0, 其他?
证明:X与Y是否相互独立。
???????2(x?y)?2x?f(x,y)dy??4edy?4e?e?2ydy?2e?2x,x?0??004. 证明:fX(x)??????
??0,?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????,其它??2e?2y,y?0 ?同理可得:fY(y)???0,???????其它?易见,f(x,y)?fX(x)fY(y),???x???,???y???,因此X与Y相互独立
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5.设随机变量X?N(0,1),?(x)是其分布函数,证明?(?x)?1??(x)。
5. 证明:
??xN(0,1) ??的密度函数为f(x)?1e2??x22,?f(?x)?f(x)
??(?x)????
??x??f(t)dt???f(?u)du??x??u??txf(u)du?1??f(u)du?1??(x)
6. 设事件AB发生,则事件C一定发生,证明P(A)?P(B)?P(C)?1。
6. 证明:由概率基本性质,因为AB?C,有P(AB)?P(C). 考虑到 P(A)?P(AB)?P(AB),P(B)?P(AB)?P(AB) , ( 以及P(AB)?P(AB)?P(AB)?1?P(AB) 有P(A)?P(B)?P(C)?[P(AB)?P(AB)]?[P(AB)?P(AB)]?P(AB) ?P(AB)?P(AB)?P(AB)?1?P(AB)?1
___________________________
7. 若随机变量X服从N(?,?2),试证Y?
7证明:对任何实数y,
(t??)22?2X???服从N(0,1)。
P{Y?y}?P{X??y??}??
因 而 Y服从N(0,1)
?y?????1e?2?dt??y??1?S2eds 2?
2
20
概率论与数理统计 (32学时)期末复习题
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