2021年上海新知杯预选赛试题

2021上海新知杯预选赛试题 2021.10

一、填空题（每题5分）

1. 在三角形ABC中，AB?b?1，BC?a，CA?2a，其中a,b是大于1的整数，则b?a? 。

2. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

3. 已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根

的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。

4. 如图，直角三角形ABC中AC?1，BC?2，P为斜边AB上

一动点。PE?BC,PF?CA，则线段EF长的最小值为 。

2222BEPCFA5. 设a,b是方程x?68x?1?0的两个根，c，d是方程x?86x?1?0的两个根，则

?a?c??b?c??a?d??b?d?的值为 。

6. 在平面直角坐标系中有两点P??1,1?，Q?2,2?,函数y?kx?1的图像与线段PQ延长

线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。

??7. 如图，四边形ABCD中AB?BC?CD,?ABC?78,?BCD?162。设AD,BC延长线交于E，则?AEB?_________________.

ADBCEAFD

BCE

C8. 如图，在直角梯形ABCD中，

D?ABC??BCD?90?,AB?BC?10,点M在BC上，使得?ADM是正三角形，则?ABM与?DCM的

面积和是________________。

AMB?，AD?3，二、（本题15分）如图，?ABC中，?ACB?90,点D在CA上，使得CD?1

并且?BDC?3?BAC，求BC的长。

BBCDA

CDEA

三、 （本题15分）若两个实数a,b使得a?b与a?b都是有理数，称数对?a,b?是和谐

22的。

① 试找出一对无理数，使得?a,b?是和谐的；

② 证明：若?a,b?是和谐的，且a?b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； ③ 证明：若?a,b?是和谐的，且

四. （本题15分）①求证：存在整数x，y，满足x2?4xy?y2?2113。 ②是否存在整数x，y，满足x2?4xy?y2?2015，请证明你的结论。

a是有理数，则a,b都是有理数。 b

五、（本题15分）如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在

BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求 （1）∠MAN的大小；

（2）△MAN面积的最小值。

DNCMAB