专题22 坐标系与参数方程
?1?t2x?，?2?1?t（t
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?4t?1?t2?为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
y2C的直角坐标方程为x?【答案】（1）（2）7． ?1(x??1)；l的直角坐标方程为2x?3y?11?0；
4221?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????【解析】（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程为2?221?t221?t?????1?t?22y2x??1(x??1)．
42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0．
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）．
?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为．
77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，
3?3?故C上的点到l距离的最小值为7．
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【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0． （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
22【答案】（1）C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4；（2）C1的方程为y??24|x|?2． 322【解析】（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以|?k?2|?2，故k??4或k?0．
3k2?1经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点； 当k??4时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点． 3|k?2|?2，故k?0或k?4．
3k2?1当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?综上，所求C1的方程为y??4时，l2与C2没有公共点． 34|x|?2． 3【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，结合图形，将曲线相交的交点个数问
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题转化为直线与圆的位置关系问题，从而求得结果.
【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?3cos?,（θ
?y?sin?,为参数），直线l的参数方程为??x?a?4t,t,（?y?1?t为参数）.
（1）若a??1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a． 【答案】（1）(3,0)，(?2125,2425)；（2）a?8或a??16． 【解析】（1）曲线C的普通方程为x29?y2?1． 当a??1时，直线l的普通方程为x?4y?3?0．
?x?4y?3?0,?x??21,由???x?x?3,?2?252解得?或?9?y?1?y?0?
???y?2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，(?2125,2425)． （2）直线l的普通方程为x?4y?a?4?0，
故C上的点(3cos?,sin?)到l的距离为d?|3cos??4sin??a?4|17．
当a??4时，d的最大值为a?917． 由题设得a?917?17，所以a?8； 当a??4时，d的最大值为?a?117． 由题设得?a?117?17，所以a??16． 综上，a?8或a??16．
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【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性可求得参数a的值．
【命题意图】
1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题． 2.理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【命题规律】
高考中以解答题的形式考查参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，难度不大，熟练应用互化公式、理解参数的几何意义即可顺利解决. 【答题模板】
解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为： 第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.
另外，当直线经过点P(x0,y0) ，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成??x?x0?tcos?(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时，把直线的参数方
?y?y0?tsin?程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1+t2，t1·t2，得到|AB|=|t1-t2|=【方法总结】
1．参数方程化为普通方程
?t1?t2?2?4t1?t2.
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x,y的值.一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的问题，常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 3．极坐标方程与直角坐标方程互化
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进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝
y(x≠0)． x4．参数方程与极坐标方程互化
进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）. 5．几种常见曲线的参数方程 （1）圆
?x?a?rcos?以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是?，其中α是参数．
y?b?rsin???x?rcos?当圆心在（0，0）时，方程为?，其中α是参数．
y?rsin??（2）椭圆
?x?acos?x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?，其中φ是参数．
ab?y?bsin??x?bcos?x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?，其中φ是参数．
ba?y?asin?（3）直线
经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是??x?x0?tcos?，其中t是参数．
?y?y0?tsin?
1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在直角坐标系xOy中，曲线C1：
??x?5cos?（?为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：???y?2?5sin?
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专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
