高中数学选修1-1课时作业12：3.3.1 函数的单调性与导数

人教版高中数学选修1-1课时作业

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由f′(x)＜0，即x－2＜0，得x＞2.

故f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞). 13.(选做题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间；

1??2

－，－?(2)设函数f(x)在区间3内是减函数，求a的取值范围. 3???解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4(a2－3). 当Δ＞0，即a＞3或a＜－3时， 令f′(x)＞0，即3x2＋2ax＋1＞0， 解得x＞

－a＋

3a2－3

或x＜

－a－

3a2－3

；

令f′(x)＜0，即3x2＋2ax＋1＜0， －a－a2－3－a＋a2－3

解得＜x＜. 33故函数f(x)的单调递增区间是

??－a－a2－3??－a＋a2－3

?－∞，?，??； ，＋∞

33?????－a－a2－3－a＋a2－3?

?. 单调递减区间是?，

33??

当Δ＜0，即－3＜a＜3时，对所有的x∈R都有f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增.

a?a?当Δ＝0，即a＝±3时，f′?－3?＝0，且对所有的x≠－3都有f′(x)＞0，故f(x)在

??R上单调递增.

(2)由(1)，知只有当a＞3或a＜－3时，

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?－a－a2－3－a＋a2－3?

?内是减函数， f(x)在?，

33??

??所以?

－a－

a2－32≤－

33，

解得a≥2.

??－a＋a2

－33≥－1

3.

故a的取值范围是[2，＋∞).

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