人教版高中数学选修1-1课时作业
§3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数
基础过关
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) C.(1,4)
B.(0,3) D.(2,+∞)
[[解析]] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,即(x-2)ex>0,解得x>2,故选D. [[答案]] D
2.y=xln x在(0,5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减
1???1?0,C.在?内单调递减,在?e,5?内单调递增 e?????1???1?
D.在?0,e?内单调递增,在?e,5?内单调递减
????[[解析]] 函数的定义域为(0,+∞).
1?11?
y′=ln x+1,令y′>0,得x>e;令y′<0,得0<x<e.所以函数y=xln x在?0,e?
???1?
内单调递减,在?e,5?内单调递增.
??[[答案]] C
3.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数
1
人教版高中数学选修1-1课时作业
D.既不是增函数也不是减函数
[[解析]] 求函数的导函数f′(x)=3x2+2ax+b,导函数对应方程f′(x)=0的Δ=4(a2-3b)<0,所以f′(x)>0恒成立,故f(x)是增函数. [[答案]] A
?3?
4.函数y=f(x)在其定义域?-2,3?内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数
??为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为________.
[[解析]] 函数y=f(x)为减函数的区间,反映在图象上图象是下降的. ?1?
[[答案]] ?-3,1?∪[2,3)
??
2
5.当x>0时,f(x)=x+x的单调递减区间是________.
2
2x-2(x-2)(x+2)
[[解析]] f′(x)=1-x2=x2=.
x2由f′(x)<0且x>0得0 6.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0. (1)求函数y=f(x)的[[解析]]式; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 解 (1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2, ∴f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c. 由在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0, 知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f′(-1)=6. 2 人教版高中数学选修1-1课时作业 ???3-2b+c=6,?2b-c=-3,∴?即?解得b=c=-3. ??-1+b-c+2=1,??b-c=0,故所求的[[解析]]式是f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)f′(x)=3x2-6x-3. 令f′(x)>0,得x<1-2或x>1+2; 令f′(x)<0,得1-2 解 由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1) =-x3+x2+tx+t, 则f′(x)=-3x2+2x+t. 若f(x)在(-1,1)上是增函数, 则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立. 即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立. 令函数g(x)=3x2-2x, 1 由于g(x)的图象是对称轴为x=3,开口向上的抛物线, 故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立?t≥g(-1), 即t≥5. 故t的取值范围是[5,+∞). 能力提升 3 人教版高中数学选修1-1课时作业 8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数,且f(x)<0,则g(x)=x2f(x)在(-∞,0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 C.先增后减 B.单调递增 D.先减后增 [[解析]] 因为函数f(x)在定义域R上为增函数, 所以f′(x)≥0. 又因为g′(x)=2xf(x)+x2f′(x), 所以当x∈(-∞,0)时,g′(x)>0恒成立, 所以g(x)=x2f(x)在(-∞,0)内单调递增. [[答案]] B 9.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示,选项中的四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是( ) [[解析]] 由题图可知,当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,此时原函数为增函数,图象应是上升的;当-1<x<0时,xf′(x)>0,所以f′(x)<0,此时原函数为减函数,图象应是下降的;当0<x<1时,xf′(x)<0,所以f′(x)<0,此时原函数为减函数,图象应是下降的;当x>1时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,此时原函数为增函数,图象应是上升的.由上述分析可知选C. 4 人教版高中数学选修1-1课时作业 [[答案]] C 10.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是________. 1 [[解析]] 由于f′(x)=k-x,f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,故f′(x)111 =k-x≥0在(1,+∞)上恒成立.由于k≥x,而0<x<1,故k≥1,即k的取值范围是[1,+∞). [[答案]] [1,+∞) 11 11.若函数f(x)=x2+ax+x在(2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________. 11 [[解析]] 因为f(x)=x2+ax+在(,+∞)上是增函数, x211 故f′(x)=2x+a-x2≥0在(2,+∞)上恒成立, 11 即a≥x2-2x在(2,+∞)上恒成立. 12 令h(x)=2-2x,则h′(x)=-3-2, xx 1 当x∈(2,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数, 1 所以h(x)<h(2)=3.所以a≥3. [[答案]] [3,+∞) 12.已知函数f(x)=ln x-f′(1)x+1-ln 2,试求f(x)的单调区间. 解 由f(x)=ln x-f′(1)x+1-ln 2,x∈(0,+∞), 1 得f′(x)=x-f′(1). 1 令x=1,则f′(1)=1-f′(1),∴f′(1)=2, 11f′(x)=x-2. 11 由f′(x)>0,即x-2>0,得0<x<2; 5
高中数学选修1-1课时作业12:3.3.1 函数的单调性与导数
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