人教版高中数学选修1-1课时作业
§3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数
基础过关
1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) C.(1，4)
B.(0，3) D.(2，＋∞)
[[解析]] f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，即(x－2)ex＞0，解得x＞2，故选D. [[答案]] D
2.y＝xln x在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减
1???1?0，C.在?内单调递减，在?e，5?内单调递增 e?????1???1?
D.在?0，e?内单调递增，在?e，5?内单调递减
????[[解析]] 函数的定义域为(0，＋∞).
1?11?
y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞e；令y′＜0，得0＜x＜e.所以函数y＝xln x在?0，e?
???1?
内单调递减，在?e，5?内单调递增.
??[[答案]] C
3.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数
1
人教版高中数学选修1-1课时作业
D.既不是增函数也不是减函数
[[解析]] 求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数. [[答案]] A
?3?
4.函数y＝f(x)在其定义域?－2，3?内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数
??为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________.
[[解析]] 函数y＝f(x)为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. ?1?
[[答案]] ?－3，1?∪[2，3)
??
2
5.当x>0时，f(x)＝x＋x的单调递减区间是________.
2
2x－2（x－2）（x＋2）
[[解析]] f′(x)＝1－x2＝x2＝.
x2由f′(x)<0且x>0得0 6.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0. (1)求函数y＝f(x)的[[解析]]式； (2)求函数y＝f(x)的单调区间. 解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2， ∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0， 知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6. 2 人教版高中数学选修1-1课时作业 ???3－2b＋c＝6，?2b－c＝－3，∴?即?解得b＝c＝－3. ??－1＋b－c＋2＝1，??b－c＝0，故所求的[[解析]]式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2. (2)f′(x)＝3x2－6x－3. 令f′(x)>0，得x<1－2或x>1＋2； 令f′(x)<0，得1－2 解 由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1) ＝－x3＋x2＋tx＋t， 则f′(x)＝－3x2＋2x＋t. 若f(x)在(－1，1)上是增函数， 则在(－1，1)上f′(x)≥0恒成立. 即t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立. 令函数g(x)＝3x2－2x， 1 由于g(x)的图象是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线， 故t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立?t≥g(－1)， 即t≥5. 故t的取值范围是[5，＋∞). 能力提升 3 人教版高中数学选修1-1课时作业 8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 C.先增后减 B.单调递增 D.先减后增 [[解析]] 因为函数f(x)在定义域R上为增函数， 所以f′(x)≥0. 又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)， 所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立， 所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增. [[答案]] B 9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是( ) [[解析]] 由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C. 4 人教版高中数学选修1-1课时作业 [[答案]] C 10.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________. 1 [[解析]] 由于f′(x)＝k－x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，故f′(x)111 ＝k－x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k≥x，而0＜x＜1，故k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞). [[答案]] [1，＋∞) 11 11.若函数f(x)＝x2＋ax＋x在(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________. 11 [[解析]] 因为f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)上是增函数， x211 故f′(x)＝2x＋a－x2≥0在(2，＋∞)上恒成立， 11 即a≥x2－2x在(2，＋∞)上恒成立. 12 令h(x)＝2－2x，则h′(x)＝－3－2， xx 1 当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数， 1 所以h(x)＜h(2)＝3.所以a≥3. [[答案]] [3，＋∞) 12.已知函数f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，试求f(x)的单调区间. 解 由f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，x∈(0，＋∞)， 1 得f′(x)＝x－f′(1). 1 令x＝1，则f′(1)＝1－f′(1)，∴f′(1)＝2， 11f′(x)＝x－2. 11 由f′(x)＞0，即x－2＞0，得0＜x＜2； 5
高中数学选修1-1课时作业12：3.3.1 函数的单调性与导数
