华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2014学年第1学期 考试科目： 概率论与数理统计 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
装题号 得分 评阅人 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
订1. 有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为 （ A ）
线77715A. B. C. D.
50481001002.设A和B互不相容，且P(A)?0，P(B)?0，则下列结论正确的是（ C ）
A. P(A|B)?0 B. P(A)?P(A|B) C. P(A|B)?0 D. P(AB)?P(A)P(B)
3.设A和B相互独立，且P(A)?0，P(B)?0，则一定有P(A?B)?（ A ） A. 1?P(A)P(B) B. 1?P(A)P(B) C. P(A)?P(B) D. 1?P(AB)
(x?2)21?18e4.设随机变量X的概率密度为f(x)?，若P(X?C)?P(X?C)，则8?C的值为 ( D )
A. 0 B. -2 C. ?2 D. 2
5.下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为： ( D )
?1?cosx,x?[0,?]?, A. f(x)?? B. f(x)??2其他?0,??0,2x?2其他
(x??)?1?2??e?x,x?0e2?,x?0 C. f(x)???2? D. f(x)??
0,x?0??0,x?0?6. 设X1、X2是随机变量，其数学期望、方差都存在，C是常数，下列命题中
（1）E(CX1+b)=CE(X1)+b； （2）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) （3）D(C X1+b)=C2D(X1)+b （4）D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)
1
正确的有 ( C ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5427. 样本(X1,X2,?,X9)取自总体X?N(0,1)，则统计量?Xi4i?1?Xj?492j服从以下
分布 ( D? ) A. F(4,9) B. F(4,5) C. F(4,4) D. 以上都不是. 8. 设总体X?N(?,?2)，X1，X2，?，Xn（n?3）是来自总体X的简单随机样本，则下列估计量中，不是总体参数? 的无偏估计的是 ( B )
A. X B. X1?X2???Xn C. 0.1?(4X1?6X2) D. X1?X2?X3
9. 简单随机样本(X1,X2)来自总体??N(?,?2)，下列?的无偏估计量中， 最有效的估计量是 ( D )
3423X1?X2 B. X1?X2 77552111 C. X1?X2 D . X1?X2
332210. 设总体X?N(?,?2) 且?和?2均未知。若样本容量和样本观测值不变，则下面关于总体均值?的置信区间长度L与置信度1??的关系的说法中正确的是。 （ B ）
A. 当1??减小时，L增大 B. 当1??减小时，L减小 C. 当1??减小时，L不变 D. 以上三个都不对
A.
二、填空题（本大题共7小题，每空2分，共20分）
1. 一个例子中有3个白球，2个黑球，从中不放回地每次任取一球，连取三次，则第一、第二次、第三次都取得白球的概率为 0.1 .
2. 已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，则P(A?B)= 0.7 .
?1?e?x,x?03. 设随机变量X的分布函数为F(x)?? ，则P(X?2)= e?2 ，x?0?0,?e?x,x?0 . X的密度函数为 f(x)???0,x?04. 若随机变量??U(1,6)，则方程X2??X?1?0有实根的概率为 4/5或0.8 . 5. 设X~N(0,1),Y~N(8,4)，X的分布函数为?(x)?P{X?x}，则用?(x)表示概率P{4?Y?12}?______2?(2)?1或__?(2)??(?2)_________.
2
装1.5CM 订线 1.5CM
6. 设随机变量X,Y相互独立，其中X服从参数为2泊松分布，Y服从参数为
12的指数分布，则E(X?Y)=______4_______，D(2X?Y)=_____12_________. 7.设总体X?N(?,100)，若要保证?的置信区间长度小于等于5，当置信度为0.9时，样本容量n最小应为 44 ，而当置信度为0.95时，样本容量n最小
应为 62 .（提示：u0.05?1.645，u0.025?1.96） 三、概率论解答题（本大题共3小题，共36分）
1.（10分）某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.1和0.3。如果被保险人中“谨慎型”占20%，“一般型”占50%，“冒失型”占30%，现在知某人一年内出了事故，则他是“谨慎型”客户的概率是多少？ 解：设A1,A2,A3 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。 （1分）
依题意，有 P(A1)?0.2P,A2(?)0.P53A,?(，) 0.3 P(B|A1)?0.05,P(B|A1)?0.1,P(B|A1)?0.3， （2分） 所以，由贝叶斯公式可得 （1分）
P(AB)P(A1)P(B|A1)1|B)?P(A1P(B)?P(A)?P(A （4分） 1)P(B|A12)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?0.2?0.050.2?0.0?50?.5?0.1?0?.30?10..30616 57 （2分）
2. （10分）一袋中装有4个球，球上分别标有号码1，2，3，4. 现从中任取
2球，X为取出球中最小号码，求X的概率分布律和E(2X?1)
解：根据题意，X可能的取值有1，2，3， （1分）
取值的概率分别为P(X?1)?C1131C2111C2?，P(X?2)?2?，P(X?3)?42C43C2?
46故X的概率分布律为 (6分）
X 1 2 3 p 12 13 16
E(2X?1?)(?2?1?112)??(?2?213?1)??(?216?3113?3) （43.分）
33 3.（16分）设随机变量X的密度函数为f(x)???cx2,x?(0,1),?0,x?(0,1).
3
求：(1)常数c；(2)求X的分布函数F(x)； (3)求X的期望E(X)和方差D(X)；（4）求Y?1?X的密度函数。 解：（1）由???1f(x)dx??cx2dx?c?1 知c?3； （2分） ??03 （2）当x?0 时，F(x)??xx??f(x)dx????0dx?0；
当0?x?1 时，F(x)??x??f(x)dx??x3x2dx?x30；
当x?1 时，F(x)??xf(x)dx??1??03x2dx?1；
?x?0, 所以F(x)??0,?x3,0?x?1. ??1,x?1.（3）E(X)????xf(x)dx??1x?3x2dx?3??04?0.75 E(X2)??????x2f(x)?dx?12230?x3x?5d?x0 . 6 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?380?0.375 （4）解法一：因为Y?1?X是严格单调的函数，所以
当0?y?1时，即，0?x?1时，fY(y)?fX(1?y)(1?y)??3(1?y)2 当Y为其他值时， fY(y)?fX(1?y)(1?y)??0 所以,Y?1?X的密度函数为：
f?3(1?y)2,0?y?1Y(y)???0,其他 解法二：
Y?1?X的分布函数FY(y) 为
FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X?1?y)
?1?P(X?1?y)?1?FX(1?y),
而
fdF(y)d?0?y?1Y(y)?Ydy?dy[1?FX(1?y)]?fX(1?y)???3(1?y)2??0其它
4
（4分）
（2分）
（2分） （2分） （4分）
4分）
（
四、数理统计解答题（本大题共2小题，共24分）
x?1???e,x?0 1. （12分）设总体X的概率密度f(x)???，其中??0是未
?0,x?0?知参数，X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用
装订线 矩估计法和极大似然估计法求?的估计量。
解：矩法估计 因为 ??E(X)????1?x0xe?dx??????x??0xde??xe?x???0????e?x?0dx ???e?x???0??
或因为X?E??1?????，所以??E(X)?? 由矩法估计???X ，所以???X。 极大似然估计
似然函数为
nx2??xn?n?xi?nL()??1e?xin?x1??????i?1???1?????e?1??i?1??????e 对其求对数得：·1
nxilnL(?)?nln??
?1??x1?x2??xn????????nln??i?1??
求导，并令其为0
ndlnL?(xi?)?n?1?i?1 d???2?0 解得 ???1nn?xi?x ，?的极大似然估计量为???X. i?1
5
4分）
（2分） 2分）
2分）
（2分）
（ （ （ 2.（12分）设一批钢管内径服从正态分布，从这批钢管中随机抽取9根作为样本，测得内径的样本均值x?102，样本标准差为s?2，请在以下两种情况下对这批钢管的平均内径是否等于100进行检验（??0.05）：
（1）已知??1.5； （2）? 未知。
（提示：u0.05?1.645，u0.025?1.96，t0.05(8)?1.860，t0.05(8)?2.306，
t0.05(9)?1.833，t0.05(9)?2.262）
解：（1）这是总体方差已知，检验均值的问题，采用U检验。 假设H0:??100,H1:??100 因为x?102，??1.5，n?9 ，故u?102?1001.5/9?4 对于??0.05，得临界值u0.025?1.96 因为4?1.96，所以应该拒绝H0:??100。 （2）这是总体方差未知，检验均值的问题，采用t检验。 假设H0:??100,H1:??100 因为x?102，s?2，n?9 ，故t?102?1002/9?3 对于??0.05，得临界值t0.05(8)?2.306 因为3?2.306，所以应该拒绝H0:??100。 6
（1分） （1分） 2分）
1分） （1分） （1分） （1分） （2分）
（1分） （1分）
（ （
2014-2015学年第一学期概率统计试卷A（答案）
