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所以xC?xD=﹣yH．
点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．
2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
1、 （本题满分12分，每小题满分各为4分）
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
（1） 如图8，求证：△ADE∽△AEP； （2） 设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3） 当BF＝1时，求线段AP的长. J 2006 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷 25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分） 已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。 （1） 如图9，如果AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO； （2） 如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）； （3） 在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。 C A P B O 图9
25．（1）证明：
AP?2PB?PB?BO?PO，?AO?2PO．
AOPO······························································································· （2分） ???2． ·
POBO······································································································· （1分） PO?CO， ·
AOCO．∠COA?∠BOC，?····················· （1分） △CAO∽△BCO． ·??COBO（2）解：设OP?x，则OB?x?1，OA?x?m，OP是OA，OB的比例中项，
······················································································· （1分） ?x2??x?1??x?m?， ·
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mm，即OP?． ··········································································· （1分） m?1m?11． ····································································································· （1分） ?OB?m?1OAOP， OP是OA，OB的比例中项，即?OPOBOAOC． ············································································· （1分） OP?OC，??OCOB得x?设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
················································· （1分） ∠AOC?∠COB，?△CAO∽△BCO． ·ACOC． ······································································································· （1分） ??BCOBACOCOPAC????m；当点C与点P或点Q重合时，可得?m， BCOBOBBC?当点C在圆O上运动时，AC:BC?m； ····················································· （1分） （3）解：由（2）得，AC?BC，且AC?BC??m?1?BC?m?1?， AC?BC??m?1?BC，圆B和圆C的圆心距d?BC， 显然BC??m?1?BC，?圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含． 当圆B与圆C相交时，?m?1?BC?BC??m?1?BC，得0?m?2， ······················································································ （1分） m?1，?1?m?2； ·当圆B与圆C内切时，?m?1?BC?BC，得m?2； ··································· （1分） 当圆B与圆C内含时，BC??m?1?BC，得m?2． （1分） 2007年上海市初中毕业生统一学业考试 25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分） 已知：∠MAN?60，点B在射线AM上，AB?4（如图10）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心． （1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上； （2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP?x，
ACAO?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D在射线AN上，AD?2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．
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25．（1）证明：如图4，连结OB，OP，
·································································· 1分 O是等边三角形BPQ的外心，?OB?OP， ·
圆心角?BOP?360?120． 3当OB不垂直于AM时，作OH?AM，OT?AN，垂足分别为H，T． 由?HOT??A??AHO??ATO?360，且?A?60，
?AHO??ATO?90，??HOT?120．
··············································································································· 1分 ??BOH??POT． ···································································································· 1分 ?Rt△BOH≌Rt△POT． ····································································· 1分 ?OH?OT．?点O在?MAN的平分线上． ·当OB?AM时，?APO?360??A??BOP??OBA?90． 即OP?AN，?点O在?MAN的平分线上． 综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在?MAN的平分线上． 图4 （2）解：如图5， 图5 AO平分?MAN，且?MAN?60， ······································································································ 1分 ??BAO??PAO?30． ·由（1）知，OB?OP，?BOP?120， ??CBO?30，??CBO??PAC． ·········································································· 1分 ?BCO??PCA，??AOB??APC． ·
?△ABO∽△ACP． ABAO．?ACAO?ABAP．?y?4x． ····························································· 1分 ??ACAP定义域为：x?0． ····················································································································· 1分 （3）解：①如图6，当BP与圆I相切时，AO?23； ···················································· 2分 ②如图7，当BP与圆I相切时，AO?4··································································· 1分 3； ·
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③如图8，当BQ与圆I相切时，AO?0． ··········································································· 2分
图6 图7
图8
2008年上海市中考数学试卷 25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 已知AB?2，AD?4，?DAB?90，AD∥BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点，M是线段DE的中点． E与点B不重合）（1）设BE?x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．
D A A （1）取ABD 25．解：中点H，联结MH， 1M M为DE的中点，?MH∥BE，MH?(BE?AD)． ········ （1分）
2又AB?BE，?MH?AB． ····················· （C 1分）
B B E C 备用图 图13 11··········· （2分）（1分） ?S△ABM?ABMH，得y?x?2(x?0)； 22（2）由已知得DE?(x?4)2?22． ·················· （1分） 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， ?MH?1111······· （2分） AB?DE，即(x?4)??2?(4?x)2?22?． ?2222?44解得x?，即线段BE的长为； ··················· （1分）
33（3）由已知，以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似， 又易证得?DAM??EBM． ······················ （1分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①?ADN??BEM；②?ADB??BME． ①当?ADN??BEM时，AD∥BE，??ADN??DBE．??DBE??BEM．
··············· （2分） ?DB?DE，易得BE?2AD．得BE?8；
②当?ADB??BME时，AD∥BE，??ADB??DBE． ??DBE??BME．又?BED??MEB，?△BED∽△MEB．
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?DEBE122?(x?4)2?22?(x?4)2． ，即BE2?EMDE，得x2??2BEEM解得x1?2，x2??10（舍去）．即线段BE的长为2． ··········· （2分） 综上所述，所求线段BE的长为8或2．
2009年上海市初中毕业统一学业考试
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5
分）
已知?ABC?90°为线段BD上的动点，点Q在射线，AB?2，BC?3，AD∥BC，PAB上，且满足PQAD（如图8所示）． ?PCAB（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长； （2）在图8中，联结AP．当AD?为x，3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S△APQS△PBC?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小． D （2009解：（1）AD=2，且Q点与D B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，A A D A 年上海25题解析）。P 因为∠A=90PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3/2, P （2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2，高分别是P H，h， Q （2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 则：S1=B 2C C S2=3*h/2得： B 因为两S1/S2=y，消去C H,h,B （Q） 图8 图9 Y=-(1/4)*x+(1/2), 图10 Q 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得： 直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0(8x-7)(8x-43)=0 得x1=7/8x2=(43/8)>2(舍去)所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8] (3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，
则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
。
又由于PQ/PC=AD/AB所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90
上海历年中考数学压轴题复习（试题附答案）
