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上海历年中考数学压轴题复习
2001年上海市数学中考
27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC． ②解：设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴得y??x2?ABPD25?x，即?，?x2APDCABAP2x．即，??PDDQ5?x2?y125x?2，1＜x＜4． 2②AP＝2或AP＝3－5． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
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27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图5
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27． 图1图2图3 （1）解：PQ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）． ∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°． 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1分） ∴ PQ＝PB． （2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP． ∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝
6
7
22x，BM＝PN＝CN＝1－x， 22 ∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·
2x＝1－2x． 2海量资源，欢迎共阅
得S△PBC＝
22111x）＝－BC·BM＝×1×（1－x． ………………（1分） 24222 S△PCQ＝
21113212
x＋x （1分） x）＝－CQ·PN＝×（1－2x）（1－
422222 S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝ 即 y＝ 解法二 12
x－2x＋1． 2212
x－2x＋1（0≤x＜）． ……………………（1分，1分）
22 作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形． ∴ PT＝CB＝PN． 又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN． S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN ＝CN＝（1－ 22212x）＝x－2x＋1 22（2分） ∴ y＝212x－2x＋1（0≤x＜）． ……………………（1分）22（3）△PCQ可能成为等腰三角形 ①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形， 此时x＝0 ……………………（1分） ②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3） ……………………（1分） 解法一 此时，QN＝PM＝222x，CP＝2－x，CN＝x． CP＝1－222 ∴CQ＝QN－CN＝
22x－（1－x）＝2x－1． 22 当2－x＝2x－1时，得x＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ＝
1∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°， 2 ∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，
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∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1． ……………………（1分）
上海市2003年初中毕业高中招生统一考试
27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：
（1）当∠DEF＝45o时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF＝5时，讨论△AD1D与△ED1F6是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。 2004年上海市中考数学试卷 27、（2004?上海）数学课上，老师提出： 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在2点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH． 同学发现两个结论： ①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC?xD=﹣yH （1）请你验证结论①和结论②成立； （2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）； （3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，22又将条件“y=x”改为“y=ax（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由） 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可； （2）（3）的解法同（1）完全一样． 解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），
由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x， 故点M的坐标为（2，2）， 所以S△CMD=1，S梯形ABMC= 所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3， 即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
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则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），yH=﹣2 因为xC?xD=2， 所以xC?xD=﹣yH， 即结论②成立； （2）（1）的结论仍然成立． 理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2）， 由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx， 故点M的坐标为（2t，2t2）， 所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3． 所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3， 即结论①成立． 设直线CD的函数解析式为y=kx+b， 则， 解得 2所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t； 2由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），yH=﹣2t 2因为xC?xD=2t， 所以xC?xD=﹣yH， 即结论②成立； 2（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点22C坐标为（t，at），点D坐标为（2t，4at）， 设直线CD的解析式为y=kx+b， 则：
，
解得
2
2
2
所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at，则点H的坐标为（0，﹣2at），yH=﹣2at．
2
因为xC?xD=2t，
上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)
