【考点】M5：圆周角定理；MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算． 【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力．
【分析】（1）连接OD，由BD平分∠ABC，得∠OBD＝∠EBD，又OB＝OC，∠OBD＝∠ODB，所以∠ODB＝∠EBD，再由∠EBD+∠EDB＝90°，得到∠ODB+∠EDB＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥EF，因此EF是⊙O的切线； （2）根据平行线分线段成比例定理得到
＝
＝，求得AF＝2，得到∠F＝30°，
推出△OCB为等边三角形，∠COB＝60°，∠DOC＝60°根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）EF与⊙O的位置关系：相切，理由如下： 连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠EBD， ∵OB＝OC， ∴∠OBD＝∠ODB， ∠ODB＝∠EBD， ∵DE⊥BC，
∴∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠ODB+∠EDB＝90°， 即∠ODE＝90°，OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）∵OD⊥EF，BE⊥EF， ∴OD∥BE， ∴
＝
＝，
∵AB＝4， ∴OA＝OB＝2， ∴OF＝4，
∴AF＝2， ∴sinF＝
＝，
∴∠F＝30°， ∴∠AOD＝60°，
∴∠EBA＝60°，∠DOB＝120°， ∵OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，∠COB＝60°，∠DOC＝60° ∴S阴影＝S扇形ODB﹣S△ODB﹣（S扇形OCB﹣S△OCB） ＝S扇形ODB﹣S△ODB﹣S扇形OCB+S△OCB ＝S扇形ODC ＝
?π×22
＝π．
22.已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3其图象F与直线x＝﹣3交于点G． （1）当二次函数图象F经过点C（﹣1，﹣4）时，求它的表达式；
（2）设点G的纵坐标为yG，求yG最小值；此时二次函数图象F上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若x1＜x2≤﹣4，比较y1与y2的大小；
（3）若点A（a，﹣），B（p，q）都在在抛物线F上，且满足|q+4|＜，求p的取值范围（答案用含字母a，m的不等式表示）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H2：二次函数的图象；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力．
【分析】（1）根据抛物线F：y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3过点C（﹣1，﹣4），可以求得抛物线F的表达式；
（2）根据题意，可以求得yG的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的
大小；
（3）抛物线F：y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣4可知：抛物线开口向上，顶点为（m+1，﹣4），进而证得点A在x轴的下方，﹣4＜q＜﹣m+1或m+1＜p＜2m+2﹣a．
【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣4）， ∴﹣4＝（﹣1）2﹣2×（m+1）×（﹣1）+m2+2m﹣3， 解得，m＝﹣2，
∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝﹣3时，yG＝9+6（m+1）+m2+2m﹣3＝（m+4）2﹣4， ∴当m＝﹣4时，yG的最小值﹣4，
此时抛物线F的表达式是：y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4， ∴当x≤﹣3时，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2≤﹣4， ∴y1＞y2；
（3）由抛物线F：y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣4可知：抛物线开口向上，顶点为（m+1，﹣4），
∵点A（a，﹣），B（p，q）都在抛物线F上，且满足|q+4|＜， ∴点A在x轴的下方， ∴﹣4≤q＜﹣
，
，所以a＜p＜
∵点A（a，﹣）在抛物线F上， ∴a＜p＜2m+2﹣a．
23.如图，点E、G是矩形ABCD边AB上的两点，F是边DC上的点，AB＝8且CG＝EF． （1）如图1，若BE＝2，DF＝1，此时点E在点G右侧，求EG的长； （2）在（1）的条件下，连结CE，若CE平分∠BCG，求BC的长；
（3）如图2，若EB＝1，DF＝k，tan∠EFC＝k，且满足AB≤DF+EB≤AB，求tan∠AFD的范围．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】553：图形的全等；556：矩形 菱形 正方形；55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）过F作FH⊥AB于点H，证明Rt△EFH≌Rt△GCB（HL），得HG＝BE，进而求得结果；
（2）过E作EM⊥CG于M，求得GM，再证明Rt△CEM≌Rt△CEB（HL），得CB＝CM，设BC＝x，由线段的和差列出x的方程便可解答；
（3）过点E作EN⊥CD于点N，由tan∠EFC＝k，求得EN，进而用k表示tan∠AFD，再由AB≤DF+EB≤AB，列出k的不等式求得k的取值范围，便可解决问题． 【解答】解：（1）过F作FH⊥AB于点H，如图1，则AH＝DF＝1，FH＝BC， ∵EF＝CG，
∴Rt△EFH≌Rt△GCB（HL）， ∴EH＝GB， ∴HG＝BE＝2，
∴EG＝AB﹣AH﹣HG﹣BE＝8﹣1﹣2﹣2＝3；
（2）过E作EM⊥CG于M，如图1，则EM＝EB＝2， ∴GM＝∵CE＝CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEB（HL）， ∴CM＝CB， 设BC＝x，则CG＝∵CM+GM＝CG， ∴x+
＝
，
，
解得，x＝2∴BC＝2
， ；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，则EN＝AD，BE＝CN＝1， ∴FN＝CD﹣DF﹣CN＝8﹣k﹣1＝7﹣k， ∵tan∠EFC＝k， ∴
，即
，
∴EN＝k（7﹣k）， ∴tan∠AFD＝
，∵AB≤DF+EB≤AB， ∴，
解得，， ∴，
∴
．
2024年浙江省杭州十三中教育集团中考数学模拟试卷(4月份)解析版
