.
a＋b
则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝?b[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(x2－abx
?2?ax31
－)|ba＝(b－a)3， 36
14∴(b－a)3＝， 63
解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，
??其中?a2＋b2
??y＝2.
a＋bx＝，
2
??x＝a＋1，
将b－a＝2代入得?
??y＝a2＋2a＋2.
消去a得y＝x2＋1.
∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.
能力拓展提升
11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝?34xdx，则公比q的值
??0为( )
1
A．1 B．－ 2
11
C．1或－D．－1或－
22[答案] C
[解读] 因为S3＝?34xdx＝2x2|30＝18，所以＋＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，
?qq2?01
解得q＝1或q＝－，故选C.
2
6
6
.
12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则?elnxdx＝( )
??1A．1 B．e C．e－1 D．e＋1 [答案] A
[解读] 由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是?elnxdx＝(xlnx
??1－x)|e1＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.
13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． [答案] 18
??y2＝2x，
[解读] 由方程组?解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x
y＝4－x，??
y2
＝、x＝4－y， 2
∴S＝?2 [(4－y)－]dy＝(4y－－)|2－4＝18.
?226?-414.
y2
y2y3
.
已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．
[答案] (
e－1)2
[解读] 由题意得S1＋S2＝?t(et－1－ex＋1)dx＋?1(ex－1－et＋1)dx＝?t(et－
????0?t?0ex)dx＋?1(ex－et)dx＝(xet－ex)|t0＋(ex－xet)|1t＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et
??t1
＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝，∴当t∈[0，
211
)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t∈(，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小2211值为g()＝e＋1－2e＝(22
15．求下列定积分．
x
(1)?1－1|x|dx。 (2)?πcos2dx；
??2?01
(3)∫2e＋1dx.
x－1
e－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(
e－1)2.
.
1
[解读] (1)?1－1|x|dx＝2?1xdx＝2×x2|10＝1.
??2?01＋cosx11π
(2)?πcos2dx＝?πdx＝x|π0＋sinx|π0＝. ??22222?0?0(3)∫2e＋1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝1.
x－1
16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
12
1
1x
[解读] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0， ∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)． ∴S阴影＝?0[0－(－x3＋ax2)]dx
??a1111＝(x4－ax3)|0a＝a4＝， 431212∵a<0，∴a＝－1.
1．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的
几何意义，探求f(x)dx的值，结果是( )
.
1π
A.＋ B．π 62C．1 D．0 [答案] B
[解读] f(x)dx＝sin5xdx＋1dx，由于函数y＝sin5x
是奇函数，所以sin5xdx＝0，而
ππ
1dx＝x|－＝π，故选B.
22
－x－1 －1≤x<0??
2．若函数f(x)＝?π
cosx 0≤x<，?2?面积为a，则a的值为( )
2＋π1
A.B.
423C．1 D.
2[答案] D
，
的图象与坐标轴所围成的封闭图形的
1?π1π3
[解读] 由图可知a＝＋? cosxdx＝＋sinx|0＝.
2?2222
?0
定积分及微积分基本定理理解练习知识题及答案解析
