3.立体几何
1.(2017·全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值.
(1)证明 由题设可得△ABD≌△CBD. 从而AD＝CD，又△ACD为直角三角形， 所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角， 在Rt△AOB中，BO2＋OA2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°， 所以平面ADC⊥平面ABC.
(2)解 由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，
→→→→
OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则O(0，0，0)，A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(0，3，0)，C(－1，0，0)，
1
由题意知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D
2131
到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E?0，，?，
222??31→→→
故AE＝?－1，，?，AD＝(－1，0，1)，OA＝(1，0，0).
22??
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面AEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →?n1＝0，?AE·3则?解得n1＝?1，，1?，
3??→?n1＝0，?AD·→?n2＝0，?AE·
?解得n2＝(0，－1，3)， →?n2＝0，?OA·
设二面角D－AE－C为θ，易知θ为锐角， |n1·n2|7则cos θ＝＝.
|n1||n2|7
2.(2017·河南百校联盟模拟)在如图所示的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点.
(1)求证：DE∥平面ACC1A1；
(2)若AB⊥BC，AB＝BC，∠ACB1＝60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值.
(1)证明 取AB中点F，连接DF，EF.
在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，
所以DF∥AC，又DF?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1. 在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点， 所以EF∥AA1，又EF?平面ACC1A1， AA1?平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1. 因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ACC1A1. 因为DE?平面DEF，故DE∥平面ACC1A1.
(2)解 因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BC⊥BB1， 又AB⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1. 因为AB＝BC，BB1＝BB1， 所以△ABB1≌△CBB1，AB1＝CB1， 又∠ACB1＝60°，所以△AB1C为正三角形， 所以AB1＝AB2＋BB21＝AC＝2AB，所以BB1＝AB.
取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1⊥BO，AB1⊥CO，所以AB1⊥平面BCO， 所以平面AB1C⊥平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上， 所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角. 在Rt△BCO中，BO＝
22
AB＝BC， 22
BO2
所以tan∠BCO＝＝.
BC2
3.(2017·中原名校豫南九校模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，E，F分别为AD，PA的中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD.
(1)求证：平面BEF∥平面PDQ； (2)求二面角E－BF－Q的余弦值.
→→→
(1)证明 方法一 (向量法)以A点为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，a，0)，P(0，0，1)， →→
设Q(1，x，0)，则PQ＝(1，x，－1)，QD＝(－1，a－x，0)， →→
若PQ⊥QD，则PQ·QD＝－1＋x(a－x)＝0， 即x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4＝0， ∴a＝2，x＝1.
→
∴Q(1，1，0)，QD＝(－1，1，0)， 又E是AD的中点，
→
∴E(0，1，0)，BE＝(－1，1，0)， →→∴QD＝BE， ∴BE∥DQ，
又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ， ∴BE∥平面PDQ， 又F是PA的中点， ∴EF∥PD，
∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ， ∴EF∥平面PDQ，
∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF， ∴平面BEF∥平面PDQ.
方法二 (几何法)题意转化为矩形ABCD中AQ垂直于QD的点Q只有一个，则以AD为直径的圆与线段BC相切，易得BC＝2，Q是线段BC的中点，由BE∥QD，EF∥DP，易得两平面平行.
(2)解 设平面BFQ的一个法向量m＝(x，y，z)，
2018版考前三个月高考数学理科总复习文档：中档大题规范练3
