数论综合一
内容概述
运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．
典型问题
兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下三条性质： ①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数．
25□ ，空格中的数未知，请问： 2．一个五位数8□ (1)如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
(2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
3．在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？
[来源学科网ZXXK]
5 ．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
6．一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
7．一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？
8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同； ②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数； ③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数． 你能破解此密文吗？
拓展篇
1．已知3a7×b0c是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数abc是多少？
[来源学科网]
2. 11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
4．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
5．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
[来源学。科。网]
六年级下册数学竞赛试题-第8讲数论综合全国通用
