高中数学选修2-1课时作业19：1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词

高中数学选修2-1课时作业

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

一、选择题 1.下列命题：

①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C

[解析] 命题①②④都是全称命题. 2.下列命题中特称命题的个数是( )

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B

[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；

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命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.

3.下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C

[解析] ①②③为真命题. 4.给出以下命题： ①?x∈R，有x4>x2；

②?α∈R，使得sin 3α＝3sin α； ③?a∈R，对?x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为( ) A.0 B.1C.2 D.3 [答案] B

[解析] ①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题.故选B. 5.下列四个命题中，为真命题的是( ) 1

A.?x∈R，x＋≥2

x1

B.?x0∈R，x0＋≥2

x0C.?x0∈R，|x0＋1|<0 D.?x∈R，|x＋1|>0 [答案] B

1

[解析] 当x0>0时，x0＋≥2成立.

x0

6.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是( ) A.?x0∈R，f(x0)≤f(x1)

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高中数学选修2-1课时作业 B.?x0∈R，f(x0)≥f(x1) C.?x∈R，f(x)≤f(x1) D.?x∈R，f(x)≥f(x1) [答案] C

[解析] ∵x1是方程2ax＋b＝0的解， b

∴x1＝－，

2a又∵a>0，

∴f(x1)是y＝f(x)的最小值， ∴f(x)≥f(x1)恒成立.

7.已知命题p：?x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( ) A.[0,4]

C.(－∞，0)∪(4，＋∞) [答案] A

[解析] ∵p是假命题，

∴?x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立， ∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4. 8.下面四个命题：

①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2； ③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 [答案] D

[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.

∵当且仅当x＝±2时，x2＝2，

∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题. 对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题. 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.

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B.(0,4)

D.(－∞，0]∪[4，＋∞)

高中数学选修2-1课时作业 ∴①②③④均为假命题. 二、填空题

9.给出下列四个命题：

①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形； ③?x，y∈R，x2＋y2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________. [答案] ①②④

[解析] ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.

10.若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________. [答案] (－2，－1)∪(1，2) [解析] ∵f(x)＝(a2－1)x是减函数， ∴0

0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 11.若“?x∈??4?[答案] 1

ππ

0，?上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即[解析] ∵函数y＝tan x在??4?4m≥1.∴m的最小值为1. 三、解答题

12.已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.

解 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题. 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立， 所以a≤1.

若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根， 所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. 综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.

13.若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.

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解 (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点， 所以a∈R.

(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0时，a∈[－1,1].

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