定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点．
24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【微点】二次函数的应用．
【思路】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解析】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 将（10，30）、（16，24）代入，得：解得：
，
，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大， ∵10≤x≤16，
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∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
25．（10分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N． ①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为M的坐标为（，），然后计算自变量为对应的一次函数值可得到N点坐标；
②易得MN＝，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），则PD＝﹣2m2+4m，由于PD∥MN，根据平行四边形的判定方法，当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m＝，求出m得到此时P点坐标为（，1），接着计算出PN，然后比较PN与MN的大小关系可判断平行四边形MNPD是否为菱形； （2）如图2，利用勾股定理计算出AB＝2
，再表示出P（1，2），则可计算出PB＝
，
接着表示出抛物线解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当△PDB∽△BOA，即
＝
；当
＝
时，△PDB∽△BAO，即
＝
＝
时，，然后
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利用比例性质分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式． 【解析】解：（1）①如图1，
∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+， ∴顶点为M的坐标为（，），
当x＝时，y＝﹣2×+4＝3，则点N坐标为（，3）； ②不存在． 理由如下： MN＝﹣3＝，
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4）， ∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m， ∵PD∥MN，
当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m＝，解得m1＝（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，1）， ∵PN＝∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形， ∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形； （2）存在．
如图2，OB＝4，OA＝2，则AB＝
＝2
，
＝
，
当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，则P（1，2）， ∴PB＝
＝
，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+4，
把A（2，0）代入得4a+2b+4＝0，解得b＝﹣2a﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，
当x＝1时，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，则D（1，2﹣a）， ∴PD＝2﹣a﹣2＝﹣a， ∵DC∥OB，
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∴∠DPB＝∠OBA， ∴当
＝
时，△PDB∽△BOA，即
＝
，解得a＝﹣2，此时抛物线解析式为y
＝﹣2x2+2x+4； 当
＝
时，△PDB∽△BAO，即
＝
，解得a＝﹣，此时抛物线解析式为y
＝﹣x2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以
cm/s的速度沿AB匀速运动，当点
P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
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【微点】四边形综合题．
【思路】（1）连接PB，由点B在线段PQ的垂直平分线上，推出BP＝BQ，由此构建方程即可解决问题；
（2）分两种情形分别构建方程求解即可；
（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，利用梯形的面积公式计算即可． 【解析】解：（1）如图1中，连接BP．
在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝4
∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BP＝BQ， ∵AQ＝∴BQ＝4∴（4
﹣
t，CP＝t， ﹣
t，PB2＝42+t2， t）2＝16+t2， 或8+4
（舍弃），
解得t＝8﹣4∴t＝（8﹣4
）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
（2）①如图2中，当PQ＝QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°．
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2024年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案（高清） - 图文
