面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为
，乙、丙面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．
【思路点拨】（Ⅰ）可从求对立事件概率考虑，“至少有1人面试合格”的对立事件是“3人面试都不合格”，由对立事件的概率，计算可得答案。
（Ⅱ）根据题意，易得的可能取值为0，1，2，3，分别计算其概率可得分布列，由期望的计算公式，结合分布列计算可得的期望。
【解析】（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且
至少有1人面试合格的概率是
.
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
=
=
∴的分布列是
0 1 2 3 的期望
【总结升华】本题考查对立事件、相互独立事件的概率计算与由分布列求期望的方法，关键是明确事件之间的关系，准确求得概率。 举一反三：
【变式】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 2 31 32 52 53 53 5现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，
（1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ、Eη。
【解析】（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0
2228???， 3557522312223228p(??2)??????????，
355355355752331231322p(??1)??????????,
35535535551333p(??0)????,
35525p(??3)?根据题意知ξ+η=3，
8, 7528p(??1)?p(??2)?
752p(??2)?p(??1)?,
53p(??3)?p(??0)?。
258282322?2??1??0??; （2）E??3?75755251523. 因为ξ+η=3，所以E??3?E??15所以p(??0)?p(??3)?【例9】某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为?，求?的分布列和数学期望．
【思路点拨】（I）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；
（II）由于摸球次数为?，按题意则?=1，2，3，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．
【解析】（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．
则P(A)=
11111????， 4444256A3-15 P(B)?33?
2564 三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”
三种情况．
P(C)?(?1111111111119222???A4)?(????A4)?(????A4)?． 44444444444464
（Ⅱ）设摸球的次数为?，则??1,2,3．
3131P(??1)?， P(??2)???，
44164331927，P(??4)?1?P(??1)?P(??2)?P(??3)?． P(??3)????4446464故取球次数?的分布列为
? P 1 2 3 4 1 43 169 6427 6413927E???1??2??3??4?2.75．(约为2.7)
4166464【总结升华】此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望。
举一反三：
【变式】甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
111,,p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为. 234（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX. 【解析】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A1,A2,A3，依题意有
11P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?p,且A1,A2,A3相互独立.
23（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
1221?P(A1?A2)?1???.
233（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有
121?pP(B)?P(A1?A2?A3)＝??(1?p)?，
23311?p1?，p?. 所以
434（Ⅲ）X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X?0)?1， 4
P(X?1)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)
?111312111???????， 423423424P(X?2)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3) 1131211111??????????， 23423423441111P(X?3)=P(A1?A2?A3)＝??? . 23424X分布列为：
X P 0 1 2 3 1 411 241 4
1 24所以，E(X)?0?1111113?1??2??3??. 42442412类型五、离散型随机变量的期望和方差在实际生活中的应用
【例10】A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床 次品数ξ1 概率p 7 B机床 次品数ξ2 概率p 8 0 0.06 1 0.04 2 0.10 3 0.0 0.2 1 0.06 2 0.04 3 0.问哪一台机床加工质量较好.
【思路点拨】先求出两组数据的期望，再做出两组数据的方差，把所求的期望和方差进行比较，得到两台机器生产的零件次品数的期望相等，而第二台的方差大于第一台的方差，得到结论。
【解析】Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44
知识讲解 - 高考总复习：离散型随机变量及其分布列、均值与方差
