kP(η=k)=C3·0.8
3－k
·0.2（k=0，1，2，3），
k
所以η的分布列如下，
η P 0 0C30.8 31 C130.8·0.2 22 2C30.8·0.2 23 C330.2 3【总结升华】有放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。有放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B（3，0.8）。
举一反三：
【变式】高清视频离散型随机变量及其分布列、均值与方差例5、有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为?,求?的分布列,期望和方差. 【解析】由题意，知ξ取值为0，1，2。
ξ每个值对应的概率为：
11C72C7C37C3271 P（ξ=0）=2?,P（ξ=1）=,P（ξ=2）= ??2215C10C1015C10157713?1??2??, 1515155327373128?(1?)2??(2?)2??Dξ=(0?)?
51551551575所以Eξ=0?【例6】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 3(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
【思路点拨】(Ⅰ)要考虑两种情况：一选取1件产品是一等品，二选取1件产品是二等品。 (Ⅱ) 由题设知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出EX．
(Ⅲ) 设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B，事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，由此能求出随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测的概率。
【解析】(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
p(A)?64213??? 1010315(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.
3021C4C6C4C13P(X?0)?3?,P(X?1)?36?,
C1030C10101203C4C61C4C1P(X?2)?3?,P(X?3)?36?.
C102C106X 0 1 2 3
P 1 303 101 21 6
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，P(B)?1131?()?. 303810【总结升华】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用。
举一反三：
【变式】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)?0.96．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，?表示取出的2件产品中二等品的件数，求?的分布列．
【解析】（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， A． 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品” 则A0，A1互斥，且A?A0?A1，
故P(A)?P(A0?A1)?P(A0)?P(A1)?(1?p)?C2p(1?p)?1?p 于是0.96?1?p．解得p?0.2；
2212
1，2． （2）?的可能取值为0，若该批产品共100件，由（1）知其二等品有100?0.2?20件，
21C80C1C23161601980C2020故P(??0)?2?，P(??1)?，． ?P(??2)??22C100495C100495C100495所以?的分布列为
? P 0 1 2 316 495160 49519 495类型四、离散型随机变量的期望和方差
【例7】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
111、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调623整中，价格下降的概率都是p(0 X2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。 （1）求X1，X2的概率分布列和期望EX1，EX2； （2）当EX1＜EX2时，求p的取值范围。 【思路点拨】（1）先确定X的取值，再求X的取值对应的概率； （2）根据第一问求出期望，再由EX1＜EX2，找出关于p的不等式，即可求出p的范围。 【解析】（1）方法一：X1的概率分布列为 X1 P 1．2 1．18 1．17 11 62111EX1=1．2×+1．18×+1．17×=1．18。 623由题设得X～B（2，p），即X的概率分布列为 X p 0 (1-p)2 1 31 2p(1-p) 2 P2 故X2的概率分布列为 X2 P 所以X2的均值列为 1．3 (1-p) 21．25 2p(1-p) 0．2 P 2EX2=1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3 方法二: X1的概率分布列为 X1 P 1．2 1．18 1．17 11 62111EX1=1．2×+1．18×+1．17×=1．18。 6231 3设Ai表示事件“第i次调整，价格下降”（i=1，2），则P(X=0)=P(A1)P(A2)=(1-p), 2 P(X=1)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=2p(1-p), P(X=2)=P(A1)P(A2)=P. 2 故X2的概率分布列为 X2 P 所以X2的均值列为 1．3 (1-p) 21．25 2p(1-p) 0．2 P 2EX2=1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3 (2)由EX1＜EX2,得- P-0.1p+1.3＞1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) ＜0, 2 解得-0.4＜p＜0.3. 因为0＜p＜1,所以当EX1＜EX2时,p的取值范围是0＜p＜0.3. 【总结升华】求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。求随机变量的分布列，关键是概率类型的确定与转化，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等。 举一反三： 【变式】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （Ⅲ）设?为取出的4个球中红球的个数，求?的分布列和数学期望． 【解析】“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B． 2C321C42由于事件A，B相互独立，且P(A)?2?，P(B)?2?． C42C65故取出的4个球均为黑球的概率为P(A?B)?P(A)?P(B)?121??． 255（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球，从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C，D互斥， 1112C32C2C3·C4C441且P(C)?2，． ·?P(D)?·?222C4C615C4C65故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C?D)?P(C)?P(D)?417??． 155151，2，3． （Ⅲ）?可能的取值为0，117C311由（Ⅰ），（Ⅱ）得P(??0)?，P(??1)?，P(??3)?2·2?． 515C4C630从而P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?3． 10?的分布列为 ? P 0 1 2 3 157 153 101 3017317?的数学期望E??0??1??2??3??． 51510306【例8】甲、乙、丙人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要
知识讲解 - 高考总复习：离散型随机变量及其分布列、均值与方差
