ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，… η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,… 【变式2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
（1）袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为ξ； （2）抛掷两个骰子，所得点数之和为ξ，所得点数之和是偶数为η。 【答案】
（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4。
ξ=k表示取出的4个球中，有k个红球，4－k个白球（k=0，1，2，3，4）。 （2）ξ的所有可能取值为2，3，4，…，12。
若以（i，j）表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点， 则ξ=2表示（1，1）；
ξ=3，表示（2，1），（1，2）；
ξ=4，表示（1，3），（2，2），（3，1）； …
ξ=12，表示（6，6）。
η的可能取值为2，4，6，…，12。 类型二、离散型随机变量分布列的性质 【例2】设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0．2 1 0．1
求：（1）2X+1的分布列； （2）|X-1|的分布列。
【思路点拨】先由分布列的性质，求出m，由函数对应关系求出2X+1和|X-1|的值及概率。 【解析】由分布列的性质知： 0．2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为:
2 0．1 3 0．3 4 m
X 2X+1 |X-1| 0 1 1 1 3 0
2 5 1 3 7 2 4 9 3 从而由上表得两个分布列为: （1）2X+1的分布列：
2X+1 P （2）|X-1|的分布列：
|X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 【总结升华】利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。
【例3】若离散型随机变量ξ的概率分布列为：
ξ p 试求出常数c与ξ的分布列。
【思路点拨】利用离散型随机变量分布列的性质解决。
0 9c-c 21 3-8c ?9c2?c?3?8c?1?【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知：?0?9c2?c?1
?0?3?8c?1?解得常数c?1，从而ξ的分布列为： 3ξ p 0 1 2 31 3【总结升华】解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。
举一反三：
【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
1ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 0 0.22 P 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率． 【答案】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22. 所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88． 【变式2】随机变量?的分布列如下：
? P 其中a，b，c成等差数列，若E??【答案】
?1 0 b 1 a c 1，则D?的值是 ． 35； 91?a???6?a?c?2b??1?由题意知：?a?b?c?1，解得?b?，
3??11???1?a?0?b?1?c?c?3??2?所以D??1111115(?1?)2?(0?)2?(1?)2?。 6333239类型三、离散型随机变量的分布列
【例4】掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ： （1）求ξ的分布列； （2）求P（3＜ξ＜7）。
【思路点拨】要根据随机变量的定义考虑所有情况． 【解析】（1）用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示
∴ξ的取值为2，3，4，?，10，11，12。
P(??2)?P(??12)?P(?P(?P(?P(?P(?1， 3621?3)?P(??11)??，
361831?4)?P(??10)??，
361241?5)?P(??10)??，
3695?6)?P(??8)?，
3661?7)??。
366∴ξ的分布列为：
ξ 2 P 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5111 9121836115121????。 （2）P(3???7)?P(??4)?P(??5)?P(??6)?129363631 361 181 121 95 361 61 36【总结升华】确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键，本题求概率采用的是古典概型中的列举法
举一反三：
【变式】一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3球鞋，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。
【解析】随机变量X的取值为3，4，5，6，从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数
3312为C6，事件“X=3”包含的基本事件总数为C3，事件“X=4”包含的基本事件总数为C1C3；1212事件“X=5”包含的基本事件总数为C1C4；事件“X=6”包含的基本事件总数为C1C5；从而有
3C31P(X?3)?3?,
C62012C1C33P(X?4)??, 320C612C1C43P(X?5)??, 310C612C1C51P(X?6)??, 32C6∴随机变量X的分布列为：
X P 3 4 5 6 1 203 203 101 2【例5】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.
【思路点拨】（1）由题意知随机变量ξ可以取0，1，2，当ξ=0时表示没有抽到次品，当ξ=1时表示抽到次品数是一个，ξ=2时表示抽到次品数是两个根据古典概型公式得到概率，写出分布列
（2）由题意知放回抽样时，每一次抽样可以作为一次实验，抽到次品的概率是相同的，且每次试验之间是相互独立的，得到η～B（3，0.8，再根据二项分布得到结果。
【解析】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.
（1）随机变量ξ取值为0，1，2 P（ξ=0）=
3C83C10CCCC771=，P（ξ=1）=238=，P（ξ=2）=832=， 151515C10C101212所以ξ的分布列为
ξ P 0 1 2 7 157 151 15（2）随机变量η取值为0，1，2，3
知识讲解 - 高考总复习：离散型随机变量及其分布列、均值与方差
