2024年高考数学一轮复习专题3.3导数的综合应用练
1．(xx·南通调研)已知函数f(x)＝a＋xln x(a∈R)． (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)的零点个数．
12x解 (1)由函数f(x)＝a＋xln x∈(a∈R)得f′(x)＝(ln x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝e－2，列表如下：
x f′(x) f(x) (0，e) － －2e 0 极小值 －2(e，＋∞) ＋ －2－2 －2因此，函数f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e)．
所以当a≤0时，函数f(x)零点个数为1. ②当0 －1 实用文档 2．(xx·天津卷节选)设函数f(x)＝x－ax－b，x∈R，其中a，b∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0. (1)解 由f(x)＝x－ax－b，可得f′(x)＝3x－a. 下面分两种情况讨论： ①当a≤0时，有f′(x)＝3x－a≥0恒成立， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ 3a3a或x＝－. 33 2 3 2 3 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 3a???－∞，－? 3??＋ －3a 30 极大值 3a3a???－，? 3??3－ 3a 30 极小值 ?3a??，＋∞? ?3?＋ 所以f(x)的单调递减区间为?－??3a3a?3a??3a??，?，单调递增区间为?－∞，－?，?，＋∞?. 33?3??3??(2)证明 因为f(x)存在极值点， 所以由(1)知a>0，且x0≠0. 由题意，得f′(x0)＝3x0－a＝0，即x0＝， 3进而f(x0)＝x0－ax0－b＝－ 实用文档 3 2 2 a2ax0－b. 3 8a3 又f(－2x0)＝－8x0＋2ax0－b＝－x0＋2ax0－b＝ 32a－x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0， 3 由题意及(1)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0，所以x1＋2x0＝0. 3．(xx·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝x在x＝0处的切线方程为y＝x. e(1)求实数a的值； (2)若对任意的x∈(0,2)，都有f(x)< 1 成立，求实数k的取值范围； k＋2x－x2 ax(3)若函数g(x)＝lnf(x)－b的两个零点为x1，x2，试判断g′? ?x1＋x2?的正负，并说明理由． ??2? 由题意得函数g(x)＝lnf(x)－b＝ln x－x－b， 11－x所以g′(x)＝－1＝， xx易得函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以要证g′? ?x1＋x2?<0，只需证明x1＋x2>1即可． ?2?2? ??x1＋b＝ln x1， 因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以? ?x2＋b＝ln x2，? 实用文档
2024-2024年高考数学一轮复习专题3.3导数的综合应用练
