?10??12 ????1?，???2?，?3，?4????1，?2，?3，?4???12??1?2 故?在基???1?，???2?，?3，?4下的矩阵为?10??12 C???12??1?200100??0?0??1??100??00?10??01?00100??0?0??1??10???12?12??2?221??10??13???1255??12??1?2??1?2?5221??9?3122? ??2?0000???0000???32?2???4.设A??k?1?k?，问当k为何值时，存在可逆矩阵T，使T?1AT为对角矩阵？?42?3??? 并求出T及相应的对角阵.5.设??1，?2，?3，?4?是四维线性空间V的一个基，线性变换?在这个基下的矩阵?5?2?43??3?1?32??? 为A??.95?1?2?22??3???10311?7??1?求?在基?1??1?2?2??3??4,?2?2?1?3?2??3,?3??3,?4??4下的矩阵；2?求?的特征根和特征向量；3?求可逆矩阵T，使T?1AT成对角形.?1?2解：由已知得1???1，?2，?3，?4????1，?2，?3，?4???1??1 ???1，?2，?3，?4?X 故求得?在基?1，?2，?3，?4下的矩阵为?0?0?1 B?XAX???0??006?5??0?54??07?322?05?2? 2??的特征多项式为f?????E?A??E?B??2???12????1?200??300?110??001? 所以?的特征值为?1??2?0,?3?12,?4?1 ?属于??0的全部特征向量为k1?1?k2?2，其中k1,k2不全为零，且 ?1?2?1?3?2??3, ?2???1??2??4, ?的属于??12的全部特征向量为k3?3，其中k3?0， 且2?3??4?1?2?2??3?6?4, ?的属于??1的全部特征向量为k4?4，其中k4?0， 且?4?3?1??2??3?2?4,?2?1?43???3?1?21? 3?因为??1,?2,?3,?4????1，?2，?3，?4???1011???016?2???2?1?43??0?????3?1?210?1?,且TAT???为对角阵 所求可逆矩阵为T??1?1011????2????016?21????6.设n阶矩阵A的n个特征根互异，证明：凡具有AB?BA的矩阵B，必与对角阵 相似，且这样的B是A的多项式.证明：设A的n个特征根为?1,?,?n,且两两互异 故存在非奇异矩阵Q，使Q?1AQ?diag??1,?,?n???1? 又因AB?BA，故Q?1AQ?Q?1BQ?Q?1BQ?Q?1AQ 但与对角线互异的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵知， Q?1BQ?diag?k1,k2,?,kn?，即B与对角矩阵相似 又由拉格朗日插值法知，存在唯一的n?1次多项式f?x?，使 f??i??ki,i?1,2,?,n，于是由?1?得 Q?1f?A?Q?diag?f??1?,f??2?,?,f??n???diag?k1,k2,?,kn??Q?1BQ 从而B?f?A?，得证7.设A是复数域C上一个n阶矩阵，?1，?2,?,?n是A的全部特征根 ?重根按重数计算?.1?如果f?x?是复数域C上任意一个次数大于零的多项式，那么f??1?, f??2?,?,f??n?是f?A?的全部特征根.2?如果A可逆，那么?i?0，?i?1,2,?,n?，并且?1?1,?2?1,?,?n?1是A?1的全部特征根. 证明：由题有1?g?????E?A?????1?????2??????n? 设f?x??a0?x?c1??x?c2???x?cm? 则f?A??a0?A?c1E??A?c2E???A?cmE?
n 且f?A??a0??1?mnmnc1E?Ac2E?A?cmE?Amnn0 ???1?af?c1?f?c2??f?cm????1?an0???c???iji?1j?1mn ?an0???c????f???f????f???ij12mi?1j?1mn 现在把?看作自由变量，在上式中用??f?x?代替f?x?，得 ?E?f?A??????f??1???????f??2????????f??m??? 即f?A?的特征根为f??1?,f??2?,?,f??n? 2?由题有?E?A?????1?????2??????n? 且因A是可逆的，?A???1??1?2??n?0，所以?i都不是零.1 于是有，?E?A?1???A?1??E?An ???????1?2??n?1 ????1n?1111??1?????2??????n???????????????21?n1 因此?1?1,?2?1,?,?n?1是A?1的全部特征根8.设A，B是数域F上的两个n阶矩阵，An?Bn?0,An?1?0，Bn?1?0，证明：A 与B相似.证明：由An?1?0，知存在??Fn,??0,使An?1??0 再由An?0,易证?,A?,?,An?线性无关,则有?00? A??,A?,?,A?????,A?,?,A?????In?10??00? 设??,A?,?,An?1???P,则P?1AP???I0?n?1??00??1 同理可证，存在Q使QAQ????In?10? 故A?Bn?1n?19.设A是可逆矩阵且对角化，证明：?1?A?1可对角化；?2?A*也是可对角化.证明：?1?因A是可逆矩阵且对角化， 故存在n个互异的特征根?1，?2,?,?n，且?i?0，?i?1,2,?,n? 即有A?1的全部特征根为?1?1,?2?1,?,?n?1，显然A?1有n个非零的不同的单根 即A?1也可对角化 ?2?因A*?AA?1，显然有?E?A*??E?AA?1?A?A
E?A?1 由?1?知A*有n个不同的非零单根，即也是可对角化10.设??L?V?，W是?的不变子空间，证明：W是?k的不变子空间 ?k是任一正整数?证明：任取??W,因W是?的不变子空间,故有?????W, 从而有?????????2????W 如此重复k次，即有?k????W，得证
第6章习题答案
