22?9?1??1?22?99?254??? 且有T??210?，则有T?1???999???201??245????999???700??? ?有T?1AT??020??002???4.在下列矩阵中，哪些可以在实数域上对角化？哪些可以在复数域上对角化？ 对于可对角化的，求出相应的过渡矩阵T，并验算T?1AT：?13?321??0?1?01????1???； 2???2?2?2?； 3???1000???36?1?????00?142???5.设A??0?34?.求Ak?k为正整数?.?043?????1?4?2解：因为?E?A?0012??13?.25??02???3?4?4????1????5????5???3' 故A的特征值为?1?1,?2?5,?3??5 且A的属于特征值1的一个特征向量为X1??1,0,0? A的属于特征值5的一个特征向量为X2??2,1,2??121??? 于是，有T??X1,X2,X3???01?2??021????100??? 则T?1AT??050??B?00?5????10?k 且B??05k??00?0??0?k???5???0??10??0??015?2k?0?5???5????1?2?5?1?5?'' A的属于特征值?5的一个特征向量为X3??1,?2,1?
?121??10??? 于是Ak?TBkT?1??01?2??05k?021??????00?12?5k?1??1???1?k?1?5k?1??4???1?k??1????????kk?1? ??05k?1??1?4??1??2?5k?1??1???1?????????k?1kk?1?k?1????02?5?1???1??5?4???1???????6.设A?Mn?F?，若Am?0，m是某个自然数，则称A为幂零矩阵，证明：若A?0是 幂零矩阵，则A不能对角化.??1????2?证明：假设A能对角化，即存在可逆阵P，s..tP?1AP????????n????1m???mm?2??0 又因Am?0,故有P?1AmP??P?1AP????????m???n?? 于是有?1??2????n?0，从而A?0，与A?0矛盾 所以A不能对角化 习题6.61.设??L?V?，W是?的不变子空间，证明，如果?有逆变换，那么W也是??1的 不变子空间.证明：令?1，?2，?，?s是W的基，因W是?的不变子空间，?可逆 故???1?,?,???s?也是W的基 对于???W,有??k1???1????ks???s? 即有??1????k1?1?k2?2???ks?s?W，得证2.设?，??L?V?，且?????，证明Im???和Ker???都是?的不变子空间.证明：任取??V,有?????Im??? 对于??????????????? 因??L?V?，故有????????Im??? 即????????Im???，即是说Im???是?的不变子空间 再任取??Ker???，则有?????0，且?????V 从而有??????????????????0??0 故?????Ker???，即Ker???是?的不变子空间3.设dimV?n,??L?V?,?2??，则1?Ker?????????????V?；2?V?Ker????Im???；
3???L?V?，则??Im?????Im???且??Ker?????Ker?????????.证明：由1?????????????????2????0知?????????V??Ker??? 又?对于???Ker???有????0，且?????0 ?????????，即Ker?????????????V? 从而有Ker?????????????V? 2?对于???V,有????????????? 而又????????Ker???,?V?Ker????Im??? 再任取??Ker???，即?????0,故有????????0 又因?????V，?????????Im??? 故有?????Im???,?????Ker??? 所以Ker????Im?????????0 即V?Ker????Im??? 3?充分性.设??=??,任取??Ker???,显然有?????0，于是有????????0 因此有????????????????0 ?有?????Ker???，即Ker???是?的不变子空间 又取??Im???且有??????，则?????????????????????Im???， 即Im???是?的不变子空间 必要性.任取??V,?????Im???,即存在?，使???????????????????? 又由1?有Ker?????????????V?， 则对??，?，有???????????????????成立 则?????????????????????????? 从而有?????4.设W是?的不变子空间，则S???V?????W也是?的不变子空间.证明：先证S是子空间.??1，?2?S,k1,k2?F ??k1?1?k2?2??k1???1??k2???2??W?S 又?W?S,????S,??????W?S,即得证5.设?，??L?V?,W是V的一个子空间，证明：如果W对于?和?都是不变子空间， 那么W对于???与??都是不变子空间.证明：?取??W 因?，??L?V?,W是V的一个子空间 ?有?????W,故有????????W,??????????W 即???与??是不变子空间???? 总习题1.判断题：1?设?是线性空间V的一个线性变换，如果?是满射，则?一定也是单射.2?设?，??L?V?,而V是n维线性空间，如果????，则????.3?设?，??L?V?，?????，?，?均可逆，则???1????1?????1????1?.2222
4?若?是数域F上n维线性空间V的线性变换，?1,?,?m是?的属于特征根?的 特征向量，则?1,?,?m的线性组合也是?的属于特征根?的特征向量.5?设T,A?Mn?F?,T可逆，如果T的各列都是A的特征向量，则T?1AT是对角 矩阵.6?设W1，W2是线性空间V的线性变换?的不变子空间，则W1?W2也是?的不变 子空间.答：1?，4?，6?错误；其它全正确.2.设f?x?,g?x??F?x?,?是线性空间V的线性变换，证明：若f?????，g?????， 则d?????，其中d?x?是f?x?与g?x?的最大公因式.证明：因为d?x?是f?x?与g?x?的最大公因式，故存在多项式u?x?,v?x? 使得d?x??u?x?f?x??v?x?g?x? 由于f?????，g?????， 故d????u???f????v???g?????3.设?1，?2，?3，?4是四维线性空间V的一个基，已知线性变换?关于这个基的21??13?.?55?1?2?1?求?关于基?1??1?2?2??4,?2?3?2??3??4,?3??3??4,?4?2?4的矩阵；2?求?的核与值域；3?求?的核中选一个基，把它扩充成V的一个基，求?在这个基下的矩阵；4?在?的值域中选一个基，把它扩充成V的一个基，求?在这个基下的矩阵.?10??23解：1?由题设，知??1，?2，?3，?4????1，?2，?3，?4???0?1??1?1 故?在基?1，?2，?3，?4下的矩阵为
?10??12矩阵是??12??2?200110??0?0??2?
?10??23?1? B?XAX??0?1??1?1?10??12 则??12??2?221513500??00?10??12??1?10???12?12??2?21??10??13???2355??0?1??1?2??1?1200??00?10??12?????x，x，x，x?T??0,0,0,0?T?1234?1?2??x1?2x3?x4?0 因rank?A??2，故有???x1?2x2?x3?3x4?0 可求得基础解系为X1???2,?32,1,0?,X2???1,?2,0,1? 2?若令?1???1，?2，?3，?4?X1,?2???1，?2，?3，?4?X2 则?1，?2即为??1?0?的一组基，所以??1?0??L??1,?2? 再求?的值域??V?,因为???1???1??2??3?2?4 ???2??2?2?2?3?2?4，???3??2?1??2?5?3??4 ???4???1?3?2?5?3?2?4, 因rank?A??2，故???1?,???2?,???3?,???4?,的秩也为2 且???1?,???2?线性无关，故???1?,???2?可组成??V?的基， 从而??V??L????1?,???2?? 3?由2?知?1，?2为??1?0?的一组基，且知?1，?2，?1，?2是V的一组基?1?0? 又，?，?，?，???，?，?，??1212??1234??0??0 故?在基?1，?2，?1，?2下的矩阵为?1?0 B???0??0?5?9 ??2?1??2?1TT0?2?1??1?3?2?2010??001??1???2?0??1?
0?2?1??1021??10?2????1?3?2???1213??01?322010??1255??001????001??2?21?2??000200??100?200???200? 4?由2?知，???1???1??2??3?2?4，???2??2?2?2?3?2?4， 易知???1?，???2?，?3，?4是V的一组基，且
第6章习题答案
