由于A，B同是?下不同基的矩阵，故有A?B11.设V是数域F上的n维线性空间证明：.1?F上的线性空间L?V?的维数是n2；2?对任意的??L?V?存在一个次数?n2的多项式f?x??F?x?， 使f?????.证明：1?显然L?V??Mn?F? 所以dimL?V??dimMn?F?=n2 2??dimL?V??n2 ?I,?,?,?n线性相关 ?存在不全为0的数a0,a1,?,an2，s.t.a0??a1????an2?n?? 即存在F上的一个非零多项式f?x?,s.t.f?????12.A?B，f?x?为一多项式，证明f?A??f?B?.证明： ?A?B，?有n阶可逆矩阵T,s.t.B?T?1AT 令f?x??a0?a1x???anxn， 从而有f?B??a0I?a1?T?1AT????an?T?1AT?n22 ?a0T?1IT?a1?T?1AT????an?T?1AnT? ?T?1?a0I?a1A???anAn?T?T?1f?A?T ?f?A??f?B?
习题6.41.在V3中，H是过原点的平面，?是把任意向量变成它在H上的正投影的线性变换，指出?的特征根与特征向量.解：由题可知?的特征根??1，H上的一切向量都是?的属于?的特征向量.2.设?是线性空间V的线性变换.??????0?,f?x??a0xm?a1xm?1???am?1x?am. 证明：f???????f??0????.证明：对于f??0????有f??0?????a0?0mxm?a1?0m?1xm?1???am?1?0x?am??1? 而又???????0? ??1??a0?m????a1?m?1??????am?1?????am?f??????，得证3.设?，?是数域F上线性空间V的两个线性变换，且?????.证明：若??????0?, ??0,?0?F，则?????V?0.V?0???V??????0?.????证明：??????，即可有??????1,??????1 ?????????1?????1,即???????1?????????1??0 即??-????????1??0，又??????1?? ???? 又???????0?,??0,?0?F ???????0?,??0,?0?F，即?????V?0，得证4.设数域F上的三维线性空间V的一个线性变换?在基??1,?2,?3?下的矩阵是?310??? A???4?10?，求?的特征根和相应的特征向量.?4?82?????3?102解：因?E?A?4??10????1????2??48??2 故?的特征根为?1??2?1,?3??22x1?x2?0??3???? 当?1??2?1说，方程组?4x1?2x2?0的基础解系为??6?，??4x?8x?3x?0??123??20? 故?的属于1的全部特征向量为k?1?k?0?，其中?1?3?1?6?2?20?3??5x1?x2?0?0???? 当?3??2时，方程组?4x1?x2?0的基础解系为?0???4x?8x?0??12??1? 故?的属于?2的全部特征向量为k?2?k?0?，其中?2??35.设R上的三维线性空间V的一个线性变换?在基??1,?2,?3?下的矩阵是?31?3??? A??31?1?,求?的特征根和相应的特征向量.?2?20??????3?13???1解：由题有f??A????3??11????2?4????4?2??2?2??? ?f??A?的根为??4，是?的特征根?x?x2 对于?4E?A?.X?0有?1，?x3?0 ?基础解系为???1,1,0?，对应特征向量是?1??2 ?V4?L??1??2? 所以?的属于特征根4的一切特征向量是k??1??2?，?k?R,且k?0?
6.求下列矩阵在复数域C内的特征根与特征向量：?31?3??0a??? A???,B??31?1?.??a0??2?20???解：设基为??1,?2??x?a? 对于A,fx?A??????x?ia??x?ia??ax? ?有?1?ia,?2??ia都是?在复数域C内的特征根 当?1?ia时，对于??1E?A?X?0有x1??ix2 ?基础解系为??i,1?，相应的特征向量为：k1??i?1??2?，?k1?C,k1?0? 当?1??ia时，对于??2E?A?X?0有x1?ix2 ?相应的特征向量为：k2?i?1??2?，?k2?C,k2?0? 设基为??1,?2，?3?1?x?2i??x?2i??x?4?2 ?在复数域上有特征根?1?2i,?2??2i,?3?4 由上题知fx?B??1?i?x?x3??12 当?1?2i时，对于??1E?A?X?0有??x?1?ix23??21?i?1?i? 所以相对应特征向量为l1??1??2??3?，?l1?C,l1?0?22??3?4i?x?x3??110 当?2??2i时，对于??2E?A?X?0有??x?3?6ix23?10?3?6i?3?4i? 所以相对应特征向量为l2??1??2??3?，?l2?C,l2?0?1010?? 当?3?4时,l3??1??2??l3?C,l3?0?7.设?是F上线性空间V的一个可逆的线性变换.证明：1??的特征根不等于零；2?若?0是?的特征根，则?0?1是??1的特征根.证明：1?设可逆线性变换?对应的矩阵是A，则矩阵A可逆，A的特征多项式 f???为f?????n??a11?a22???ann??n?1?????1?A A可逆，故A?0 又因为?的特征值就是f???的全部根，其积为A?0， 故?的特征根不等于零n 2?设?0是?的特征值，那么存在非零向量?，使得??????0?，用??1作用， 得???0???1??，于是??1???0?1?，即?0?1是??1的特征值.8.设?是数域F上线性空间V的一个线性变换，且?2??，称?为幂等变换.证明： 幂等变换的特征根只能是0或1.证明：设线性变换?对应的矩阵是A，因?2??，故有A2?A 设?是A的任意特征值，???为其特征向量, 即A????,??? 由于A2?A,故有???A??A?A???A??????2? 但???，故???2，从而??1或??0 即是说幂等变换的特征根只能是0或19.A是n阶矩阵，证明：A可逆的充分必要条件是：A的特征根均不为0.证明：设A的特征值为?1,?2,?,?n 因为A??1?2??n，所以A可逆?A?0?A的特征根均不为010.n阶方阵A与它的转置A'有相同的特征多项式.证明：??E?A???E?A???E?A', 所以A与它的转置A'有相同的特征多项式11.设A、B都是n阶方阵.证明：1?tr?AB??tr?BA?；2?若A?B，则tr?A??tr?B?.a11a21?an1a12?a1na22?a2n??an2?annnn'证明：1?设A?,B?b11b12?b1nb21b22?b2n???bn1bn2?bnnnn 且C?AB,D?BA, 显然有tr?C????aijbji,tr?D????bijaji,j?1i?1nj?1i?1 又因??aijbji???bijajij?1i?1j?1i?1nnn ?tr?C??tr?D? 即tr?AB??tr?BA? 2?因A?B，所以有fA?x??fB?x? 即有fA?x?与fB?x?的n?1次项系数相等 即?tr?A???tr?B? ?有tr?A??tr?B?
习题6.51.设?与?分别是线性变换?的属于特征根?1与?2的特征向量，而且?1??2.证明： ???不可能是?的特征向量.证明：设???是?的特征向量，且????????????? 因??????????????????1???2? ?????????1???2?，整理得????1???????2???0 又??，?线性无关 ????1????2?0，即?1??2，与?1??2矛盾，故假设不成立 即???不可能是?的特征向量，得证?a11?0?2.设上三角形矩阵A?????0 A可以对角化.证明：因A是上三角矩阵，故有fA?x????x?aii?i?1na12?a1n??a22?a2n?的对角元素a11,a22,?,ann各不相同证明：.????0?ann? 又因a11,a22,?,ann各不相同 ?fA?x?有n个单根 ?A可以对角化3.设?是数域F上三维线性空间V的一个线性变换，且?在基??1,?2,?3?下的矩阵为?1?22??? A???2?24?.?24?2???1?求?的每个特征子空间的一个基；2??能否对角化？若能，求出相应的基和过渡矩阵T，并验算T?1AT.2?2??x?12??解：由题有1?fA?x???2x?24???x?2??x?7???2?4x?2??? ?fA?x?的根为?1??7,?2?2，都是?的特征根?x1??12x3 当?1??7时,解齐次线性方程组??7E?A?X?0，即??x2??x3 ?V?7的一个基为??12?1??2??3? 当?2?2时,有?2E?A?X?0,得x1??2x2?2x3 ?V2的一个基为??2?1??2,2?1??3? 2??能对角化；有1?知有基??1?2?1??2,2?1??3?2?1??2??3，
第6章习题答案
