习题6.11.判断以下的变换是否是线性变换，说出理由：1?在R3中，??x1,x2,x3???0,x1?x2?3x3,2x1?x2?2x3?； 22?在Q3中，??x1,x2,x3???x12,x2?x3,x3?；3?在线性空间V中，??????，?是V中固定的一个向量；4?在线性空间V中，????????，?是V中固定的一个向量；5?在Mn?F?中，??X??XA?AX，其中A是Mn?F?中固定的一个方阵；6?在F?x?中，??f?x???f?x?1??f?x?；7?在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及零多项式构成的线性空间 Rn?x?中，??f?x???xf?x?；8?把复数域C看成它自己的线性空间，令??????，??C，?是?的共轭复数.解：1?，5?，6?，7?是线性变换；2?，3?，4?，8?，不是线性变换.可直接用线性变换的定义来检验.2.设?是数域F上的线性空间V的一个变换，证明：?是线性变换的充要条件是， 对任意的a、b?F和任意?，??V都有??a??b???a?????b????.证明：必要性.由线性变换性质可知?a、b?F，??，??V 有??a??b?????a?????b???a?????b???? 充分性.因对??，??V都有??a??b???a?????b???? 再由a、b的任意性可令b?0，则有??a???a???? a?b?1，则有???????????????? 故?是线性变换，得证3.证明：线性空间V的子空间W在V的线性变换?下的原象仍是V的子空间.证明：设W'为W在?下的原象集，则对??，??W' 有?,??W使得??????,?????? 由于W是子空间，故有a??b??W， 即??a??b???a?????b?????a??b??W ?a??b??W'，故W'是V的一个子空间??111???4.设F3是F上的三元列线性空间.取A??201?，令?????A?，??F3，求?135???
线性变换?的核和象的维数.解：由题得Im????L?A?1,A?2,A?3??L??1,?2,?3?，其中?1???1,2,1?, ?2??1,0,3?,?3??1,1,5? Im???的维数等于秩{?1,?2,?3}等于A的秩?101??2???111????? 又因A??201?????013?，2?135?????000???? 所以象的维数为2 又?ker???是方程组AX?0的解空间，即有??x1?x2?x3?0? ?2x1?x3?0，解得ker???????k?1,3,?2?,??F?x?3x?5x?023?1
?? 习题6.21.设?、?是线性空间F?x?的线性变换，??f?x???f'?x?,??f?x???xf?x?, f?x??F?x?.证明：?1??????，?2????????.证明：?1?对于???f?x??有???f?x?????xf?x???xf'?x??f?x??(?)， 而???f?x?????f'?x???xf'?x??(?)当f?x??0时，???f?x??????f?x??，即????? ?2?由???可得???????2.设?、?为线性空间V的两个线性变换证明：如果.???????，则对任意 自然数n都有?n????n?n?n?1.证明：利用数学归纳法来证 当n?1时，结论显然成立 假设当n?k?1时，?k?1????k?1??k?1??k?2??1?成立 则当n?k时，对?1?式两边同时左乘?，得 ?k?????k?1??k?1??k?1??2? 又????????，即???????，代入?2?式得 ?k?????????k?1?k?k?1??k?1， 即?k????k?k?k?1 由此可知对任意自然数n都有?n????n?n?n?1成立.3.设??L?V?.如果?k?1????0.但?k????0.证明：?,????,?,?k?1????k?0? 线性无关.证明：设m1,m2,?,mk,s..tm1?????m2?2??????mk?1?k?1????mk??0??1? 对?1?式以?连续作用k?1次，得m1?k????mk?k?1????0 即mk?k?1????0 ??k?1????0，?mk?0，再代入?1?式有 ?????m2?2??????mk?1?k?1????0??2? 再对?2?式以?连续作用k?2次，得m1?k?1????m2?k????0
即m1?k?1????0，有m1?0， 再代入?2?式，如此下去，依次有m1?m2???mk?0 故?,????,?,?k?1????k?0?线性无关.4.验证左分配律：????????????，?，?，??L?V?.证明：任取x?V,从而对于上式左边有 ???????x???????????x?????????x????x??? ????x?????x??????????x? 即有????????????，?，?，??L?V?5.设?，??L?R2?，??x,y???x?y,0?，??x,y????y,x?，?x,y??R2.求???,5??3?, ??,??,?2和?2.解：由题有??????x,y????x,y????x,y???x?y,0????y,x???x,x? ?5??3???x,y??5??x,y??3??x,y??5?x?y,0??3??y,x???5x?8y,?3x? ?????x,y?????y,x???x?y,0? ?????x,y????x?y,0???0,x?y? ?2?x,y??????x,y?????x?y,0???x?y,0? ?2?x,y?????y,x????x,?y?6.设??1,?2,?,?n?是线性空间V的一个基，?是V的一个线性变换.证明，?可逆 当且仅当???1?,???2?,?,???n?线性无关.证明：必要性.设?可逆，且k1???1????kn???n??0??1? 用??1作用?1?式两端，得k1?1???kn?n?0 ??1,?2,?,?n线性无关 ?ki?0，?i?1,?,n?即???1?,???2?,?,???n?线性无关 充分性.设???1?,???2?,?,???n?线性无关且 ????1?,???2?,?,???n?????1,?2,?,?n?A 则A是基??1,?2,?,?n?到基????1?,???2?,?,???n??的过渡矩阵 由过渡矩阵的性质知A可逆，故?可逆 习题6.31.求下列线性变换在所指定的基下的矩阵：1?在R3中，??x1,x2,x3???x1,x1?x2?3x3,2x1?x2?2x3?，基为R3的标准基；2?在V2内，从原点引出两条彼此正交的单位向量?1,?2作为V2的基，令?是将V2的 每一向量旋转角?的旋转变换；3?设?1?e3t,?2?te3t,?3?t2e3t.V?L??1,?2,?3?是R上的三维向量空间，线性变换D
是V的微商变换：D?f?t???f'?t?；4?Fn?x?是F上的线性空间它的线性变换.?：??f?x???f?x?1??f?x?.基为?0?1，x?x?1???x?i?1?,i?1,2,?,n；i!?ab??ab?5?在M2?F?中，线性变换??X????X??，基为?E11,E12,E21,E22?. ?i??cd??cd??100解：1?在指定基下的矩阵为A??1?3?1??1?2?1?2?;??? 2?在指定基下的矩阵为A?cos??sin??2???sin?cos???;?10? 3?在指定基下的矩阵为A?33??032???003?;????010?0?01??4?在指定基下的矩阵为A?? ?4?????????0In?0?1?或为???00?;????0???0???a2?acabbc? 5?在指定基下的矩阵为Aabadb2bd?5????acc2?adcd?.??bccdbdd2????a112.设三维线性空间V的线性变换?在基???1,?2,?3?下的矩阵为A??a?21?a31?求?在基??3,?2,?1?下的矩阵；2?求?在基??1,k?2,?3?下的矩阵，k?F，k?0；3?求?在基??1??2,?1,?3?下的矩阵.解：1?因???3??a33?3?a23?2?a13?1, ???2??a32?3?a22?2?a12?1， ???1??a31?3?a21?2?a11?1，?a32a31? 故?在基???a333,?2,?1?下的矩阵为：B1??aaa??232221?a13a12a?;11??a12a13?a22a?23a?.32a33??1
第6章习题答案
