2020-2021上海备战中考数学—相似的综合压轴题专题复习
一、相似
1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出
发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：（1）当t为何值时，∠ANM=45°？
（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论； （3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？
【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t， 解得：t=3（s），
所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形
（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA?DC= （9-t）?18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9， ∴S△AMC= AM?BC= ?2t?9=9t． ∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）． 由计算结果发现：
在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC，那么有： （ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s）， 即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；
②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有： （ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s）， 即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；
所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似
【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。
（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，利用三角形的面积公式，可得S△NAC= =81-9t，S△AMC=9t．就可得出S中，四边形NAMC的面积始终保持不变。
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC；②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。
四边形
NAMC=81，因此在M、N两点移动的过程
2．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．
【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ;
②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ
∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，
(本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP)
（2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ,
又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= .
，
【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证； （2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答案.
3．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.
（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝
EM；
（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式； （3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长. 【答案】（1）证明：：∵ ∴ ∵ ∴
∵ ∥ , ∴ ∴ ∴ 过点 作
于点 ,则
.
°,
,
°
°,
° ,
在 ∴ ∴
中，
（2）解：在 ∴ ∵
中， ，
于点 ,
a.当点 在线段 上时，过点 作 在
中，
由（1）可知：
,
∴
∴ ∴
于点
b.当点 在线段 延长线上时，过点 作 在
中，
, , ,
在 ∴ ∴
中，
（3）解：连接 ,交 于点 .
∵ 为 的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∥ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴
∽ ，即
,
,
,
, , ,
,
,
,
.
,
.
, ,
,
【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥MN于点H ,由已知条件易得EN=EM，解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解； （2）在Rt△ABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：①当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点 I ,结合（1）中的结论MN=解；
②当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'⊥AD于点 I '，解RtΔNI′M 和
可
EM即可求
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