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专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题(解析版)

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一.方法综述

数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为an形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析. 二.解题策略

类型一 数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题

【例1】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为____.

【答案】12

【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列A1j(j?1,2,??)的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这一性质求出第j数列组成的数列Aij(i?1,2,??),最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.

2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明

确“行”与“列”的概念.横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标aij进行表示,其中i代表行,j代表列.例如:a34表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列. 【举一反三】

1.【河北省衡水市第二中学2024届高三上期中】数列排足4, 4,43 4,43,4 4,43,4 … A.C.

B.D.

, 4

中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行项,

的前项和为,则满

;第二行项,从左到右分别排,;第三行项,……以此类推,设数列

的最小正整数的值为( )

【答案】C 【解析】

由图可知,第n行是4为首项,以3为公比的等比数列的前n项, 和为设满足项

的最小正整数为,

),

,则

即图中从第行第列开始,和大于因为前行共有

项,

,.

在图中排在第行第列(

所以有

所以最小正整数的值为故选C.

2.【2024年3月3日《每日一题》】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形,从而研究“多边形数”.如图甲的三角形数1,3,6,10,15,…,第个三角形数为

.又如图乙的四边形数1,4,9,16,25,…,第个四边形数为

.以此类推,图丙的五边形数中,第个五边形数为

________________.

【答案】【解析】

由图可知,从第个三角形数为,第个四边形数为

发现规律,归纳出第n个五边形数为1+4+7+…+(3n﹣2)=

故答案为:

类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点A1(1,y1),A2(2,y2),,An(n,yn),顺次为直线y?11x?上的点,点412B1(x1,0),B2(x2,0),,Bn(xn,0),*顺次为x轴上的点,其中x1?a(0?a?1).对于任意n?N,点

Bn,An,Bn?1构成以An为顶点的等腰三角形.则数列{xn}的通项公式为____________.

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题(解析版)

一.方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为an形式的数列通项公式问题中都有所涉
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