矩阵向量空间上线性变换的对角化
汪一聪，汪立民
【摘 要】摘要：由矩阵定义了阶矩阵空间上的若干线性变换，研究了其线性变化的对角化问题：在可以对角化的前提下，利用的特征根与特征向量得到了的特征根和特征向量，进而得出可以对角化. 用的互异特征根的重数得到了Ker的维数和范围，用的特征向量得到了Ker的基. 【期刊名称】五邑大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2012(026)001 【总页数】6
【关键词】对角化；特征根；特征向量；核空间
向量空间上的线性变换是线性代数的主要研究内容，简化线性变换对应的矩阵是把握线性变换的主要方法，本文研究了矩阵向量空间上的若干线性变换的对角化问题. 为简便，引入下面的记号. 记diag是以为对角线元素的对角矩阵. 设为矩阵，为矩阵，矩阵与的Kronecker积为 设、均为阶方阵，记为与相似.
1 线性变换的对角化
设是数域上的阶方阵，定义上的线性变换
则由确定. 研究的对角化是比较困难的. 这里我们假设可以对角化来研究是否可以对角化. 此问题的关键是的特征根和特征向量是如何确定的特征根和特征向量的，为此先给出2个引理.
引理1 设可以对角化，的所有特征根，则是的特征根. 证明 取的标准基. 经过计算得关于此基的矩阵为：
.
由于可以对角化，故中存在可逆矩阵，使得 即. 令 ， 则 从而， .
于是，且的特征根和的特征根完全相同. 考虑方程组 其中. 即 . （2）
令. 将方程（2）重排，可得方程组： 取，代入方程中，得.
令的第列为，由知方程的解为，于是 为方程组（3）的解. 这样得到 满足 .
故为的特征根，也是的特征根. 而是的属于的特征向量.
根据引理1的证明可得下面的结果，给出由的特征向量确定属于的特征向量的方法.
引理2 若是可对角化矩阵属于的特征向量，则 是在基下的矩阵属于的特征向量.
证明 因为为的特征向量，故. 又因为可以对角化，故存在 使得可逆，且 .
由引理1的论述，可得的属于的特征向量为 由引理2可得以下定理.
定理1 若阶方阵可以对角化，且有，则可以对角化. 若是的所有特征根，则是的所有特征根.
矩阵是的属于的本征向量，且 其中，，，.
证明 将作为矩阵的列向量，组成一个矩阵. 易知.
经过计算易得，.
因为与均为可逆矩阵，故也可逆，，与以及的所有特征根都相同.
所以为的所有特征根. 而属于的特征向量是，故属于的本征向量为. 经计算， 所以属于的本征向量是 .
2 线性变换的核空间
线性变换的核空间也是属于特征值零的特征子空间，是把握线性变换的重要子空间. 易知，的核Ker，即中所有与可交换的矩阵所组成的子空间. 对于这一子
空间的研究在的研究中占有重要的地位. 文献[2]得到了Ker与可交换的矩阵组成的子空间的维数公式. 下面我们用不同的方法证明这一结果.
命题1 设阶方阵可对角化，则dim(Ker)等于的互异特征根重数的平方和. 证明 由可对角化，从定理1知，可以对角化，于是dim(Ker)等于的特征根0的重数. 的特征根的全体是，故知dim(Ker)等于，中元素的个数. 设的特征多项式为
记的所有特征根为，其中，
于是，的特征根0就是，故；. 于是对于每个，易得的个数为. 故的特征根的重数为. 所以
即的互异特征根重数的平方和.
命题1得到了一个很有趣的结论：当可对角化时，与可交换的矩阵组成的子空间维数正是的互异特征根重数的平方和. 即该子空间的维数，由各互异特征根的重数决定. 由此可以估计与可交换的矩阵组成的子空间维数的范围，得到与可交换的矩阵组成的子空间维数可以取到的最大值与最小值，并给出当时的基. 文献[2]中还得到了命题2中的结论1）. 命题2 设阶方阵可以对角化，则 1）；
2）与任何阶方阵可换；
3）的特征根都是单根，此时，Ker的基为
证明 1）. 可以对角化，所以的特征根至少有等于. 故. 又因为是的子空间，故. 2）. 若与任何阶方阵可换，则，从而是零变换，，即
于是只有一个重特征根，. 所以存在可逆阵，使得. 于是有，即. 反之，若，显
然，与任何阶方阵可换.
3）. 若，因为是个特征根. 故如果，那么. 即两两不相等，于是的特征根都是单根. 反之，若的特征根都是单根，，由命题1，有. 此时，属于0的本征向量为. 由于可对角化，故是的一个基，是线性无关的，故也线性无关. 而等于0的本征子空间，于是是的一个基. 参考文献
[1] 张禾瑞，郝纳新. 高等代数[M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2007. [2] 唐建国. 与可换矩阵空间的维数[J]. 河北师范大学学报：自然科学版，1997, 21(1): 23-25.
[3] 唐建国，杨振新. 与反可换矩阵空间的维数[J]. 甘肃科学学报，2006, 18(1): 14-16.
基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.10901134）
矩阵向量空间上线性变换的对角化
